【数学】高等数学复习重要要点不挂科.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -高等数学复习要点第一讲 极限理论一 基本初等函数的定义域.值域.奇偶性.单调性.周期性和图象,其中函数图像为重中之重,由函数图像可以轻易的得到函数的其它要素（ P17-20）二 求极限的各种方法⑴当 f 〔 x〕 为连续函数时 . x0D f . 就有limf 〔x〕f 〔x0 〕例 1 运算极限 limx arcsin xx x0x 22⑵设 m. n 为非负整数 . a00. b0 0 就0nlima xm1a xm 1am 1 x am0.当n ma0 .当n m1x b0 xb x n 1bn 1x anb0.当n m例 2 运算极限：⑴limx3x 1 ⑵2 x 4limx9 7163x 2 2x 314x⑶用两个重要极限求① limsin x1 （ lim sin x0 , limsinf 〔x〕 1）x 0 xx x f 〔 x〕 0f 〔 x〕x2结论：当 x0 时,x ~ sin x ~tan x ~arcsin x ~arctan x , 1cos x ~ ；2② lim 〔11〕 xe （ lim 〔11x〕 xe , lim 〔11 f 〔 x〕 e ）x x x 0f 〔 x 〕f 〔 x〕〕实质：外大内小,内外互倒1 1例 4 运算极限：⑴lim 〔1 2x〕 3x ⑵ lim 〔1sin x〕 xx 0 x 0⑷未定式的极限（①罗必达法就 例 5 运算极限：0 , , , 0 , 0 0 , 0 ）0lim sin x ln x lim 〔sin x〕 xlim 〔 1 1 〕x 0 x 0x 0 sin x x②设法消去零因子（分子有理化,分母有理化,分子分母同时有理化等方法）例 6 运算极限：⑴lim1 x 1 ⑵ lim3 x 2x 0 x x 1 x 1③用等价无穷小量代换（切记：被代换的部分和其他部分必需为相乘关系！ ）第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2例 7 运算极限2limsinx tan xx 0 x 2 〔1cos x 〕⑸无穷小量乘有界变量仍为无穷小量；例 8 运算极限：⑴2 1⑵lim x sinlimx cos xx 0三 连续和间断1. 连续的定义x x 1 x22. 间断点的定义和分类四 闭区间上连续函数的性质（这里有一些证明题值得留意） ；其次讲 微分学一 导数概念导数：f 〔 x〕limf 〔x 0x〕 f 〔 x0 〕limf 〔 x〕f 〔 x0 〕左导数：xf 〔 x〕0limxf 〔 x0 x〕x x0f 〔x 0 〕xlimx0f 〔 x〕f 〔 x0 〕x 0 xx x0x x0右导数：f 〔 x〕limf 〔 x0x〕 f 〔 x0 〕limf 〔 x〕f 〔 x0 〕x 0 x实质：差商的极限；x x0x x 0例 1 运算极限 ：⑴ limf 〔 x0 h〕f 〔 x0 〕⑵ limf 〔 x0 〕f 〔x 0 x 〕h 0 h二 各种求导法x 0 x4⑴导数公式表（ P94）和四就运算法就（ P85）例 2 设f 〔 x〕4x 3 xx 5log a xsin 2 ,求 f〔 x〕 ；例 3 设f 〔 x〕1 sin x xarctan xcscx ,求 f(x) , f〔 〕 ； 4⑵复合函数的求导（ P90）例 4 求以下函数的导数① f 〔 x〕arctane2 x ②f 〔 x〕tan xe⑶隐函数求导（方法：把 y 当作 x 的函数,两边对 x 求导）例 5 求以下隐函数的导数① xy exy 0 ② 2 y3x 5 ln y⑷对数求导法（多用于幂指函数和由多因子相乘构成的函数的求导）例 6 求以下函数的导数y① y xsin x ②2x 1〔 x 1〕〔32x〕⑸由参数方程确定的函数的求导重点：由参数方程 xy〔t 〕 确定的函数 y〔 t〕f 〔 x〕 的导数为 dydx〔t 〕 ；〔t 〕第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例 7 设x ln〔1 t〕 ,求 dy ；y t arctant dx三 高阶导数例 8 设 y 2arctan x ,求 y ；例 9 设 y四 微分重点：函数 y f 〔 x〕 的微分为dyf〔x〕dxex x n ,求 y〔 n 〕 ；例 10 设 y3x2e2 x ,求 dy ； 例 11 设y 2xey ,求 dy ；五 单调性和极值重点：⑴由f 〔 x〕的符号可以判定出f 〔 x〕 的单调性；⑵求 f 〔 x〕 的极值方法：①求出 f 〔x 〕 ,令其为零,得到驻点及不行导点,姑且统称为可疑点；②判定在可疑点两侧邻近f 〔x〕的符号, 如左正右负, 就取得极大值； 如左负右正, 就取得微小值； 如同号,就不取得极值；例 12 求函数 yx ln〔 x1〕 的单调区间和极值点；例 13 证明：当 0 x六 最值问题时,恒有2x sin x ；求函数f 〔 x〕 在区间 [ a.b ] 上的最值之步骤：①求出f 〔 x〕 ,令其为零,得到可疑点（驻点和不行导点） ,并求出函数在这些点处的取值；②求出函数在区间端点取值f 〔a〕 ,f 〔 b〕 ；③比较函数在可疑点和区间端点上的取值,最大者即为最大值,最小者即为最小值；例 14 求以下函数在指定区间上的最值；⑴ f 〔x〕x4 2x25 , [2.3] ⑵ yx 1 , [ 0.4]x 1七 凹凸性和拐点重点：⑴凹凸性概念：设f 〔 x〕 在区间〔 a.b 〕 内连续,如对x1 . x2〔a.b〕 （ x1 x2 ）,有f 〔 x1 x2 〕 2f 〔x1 〕2f 〔x2 〕x1（ f 〔x2 〕2f 〔x1 〕2f 〔 x2 〕 ）就称 f 〔x〕 在 〔a.b 〕 内为凹函数（凸函数） ；（用此定义可以证明一些不等式,见下例） ；⑵由 f〔 x〕 的符号可以判定出f 〔x 〕 的凹凸性； f〔 x〕 为正号就f 〔 x〕 为凹函数, f〔 x〕 为负号就f 〔 x〕 为凸函数；⑵判定f 〔x 〕 的拐点之方法：①求出f 〔 x〕 ,令其为零,得到f 〔 x〕 等于 0 的点和 f〔x〕不存在的点；②判定在这些点两侧邻近 f 〔x〕 的符号,如为异号,就该点为拐点；如同号,就该点不为拐点；例 15 求以下函数的凹凸区间和拐点；⑴ y x 42x31⑵ y 3 x第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例 16 证明：当x1 x2 时,必有x1 x2a 2a x1a x 2（ a20 ） ；第三讲 积分学一 不定积分与原函数的概念与性质⑴原函数：如F 〔x〕f 〔 x〕 ,就称F 〔 x〕 为f 〔x〕 的一个原函数；⑵不定积分：f 〔 x〕 的全体原函数称为f 〔 x〕 的不定积分,即⑶不定积分的性质（ P174. 共 2 个）f 〔 x〕 dxF 〔 x〕c ,这里 F〔x〕f 〔 x〕特殊强调：F 〔 x〕dxF 〔 x〕c ； dF 〔x 〕F 〔 x〕c （切记常数 c 不行丢）二 定积分的概念与性质⑴定积分概念：bf 〔x〕dxanlim f 〔0i 1i 〕 xi⑵定积分和不定积分的区分：定积分为和式的极限,运算结果为个常数；不定积分为由一族函数（被积函数的原函数）构成的集合；⑶ f 〔 x〕 在[a. b] 上可积的必要条件： f 〔 x〕 在[ a.b] 上有界；充分条件： f 〔 x〕 在 [a.b ] 上连续；⑷定积分的几何意义：设边梯形的面积；f 〔 x〕0, x[ a.b] ,就f 〔 x〕dx 表示由 xbaa , xb , y0 及 yf 〔 x〕 围成的曲⑸定积分的性质（ P210.共 7 个）留意结合定积分的几何意义懂得之；b例：⑥如对x [a .b ] ,有 mf 〔 x〕M ,就有m〔b a〕f 〔 x〕dxaM 〔ba) ；⑦如 f 〔 x〕 在[ a. b] 上连续,就存在[ a .b] ,使得满意bf 〔x〕dxaf 〔。