2022年北师大版初二数学下知识点.pdf

学习必备欢迎下载第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地 ,用符号“ ”(或“” )连接的式子叫做不等式 . 2. 要区别方程与不等式 : 方程表示的是相等的关系 ;不等式表示的是不相等的关系. 3. 准确“翻译”不等式 ,正确理解“非负数”、 “不小于”等数学术语 . 非负数 大于等于 0(0) 0 和正数 不小于 0 非正数 小于等于 0(0) 0 和负数 不大于 0 二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质 ,并会灵活运用 : (1) 不等式的两边加上 (或减去 )同一个整式 ,不等号的方向不变 ,即: 如果 ab,那么 a+cb+c, a-cb-c. (2) 不等式的两边都乘以 (或除以 )同一个正数 ,不等号的方向不变 ,即如果 ab,并且 c0,那么 acbc, cbca. (3) 不等式的两边都乘以 (或除以 )同一个负数 ,不等号的方向改变 ,即: 如果 ab,并且 c0,那么 acb,那么 a-b 是正数 ;反过来 ,如果 a-b 是正数 ,那么 ab; 如果 a=b,那么 a-b 等于 0;反过来 ,如果 a-b等于 0,那么 a=b; 如果 ab,那么 a-b 是负数 ;反过来 ,如果 a-b 是正数 ,那么 ab a-b0 a=b a-b=0 ab a-bb(或 ax0时,解为abx;当 a=0时,且 b0,则 x 取一切实数 ; 当 a=0时,且 b0,则无解;当 a0时, 解为abx;5. 不等式应用的探索 (利用不等式解决实际问题) 列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即: 审: 认真审题 ,找出题中的不等关系 ,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、 “小于” 、 “不大于”、 “不小于”等含义 ;设: 设出适当的未知数 ;列: 根据题中的不等关系 ,列出不等式 ;解: 解出所列的不等式的解集 ; 答: 写出答案 , 并检验答案是否符合题意.课堂练习解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：（1）5x 10;（2） 3x+120;（3）21x354x;（4）27x1223x. 解： （1）两边同时除以5，得 x 2.这个不等式的解集在数轴上表示如下：（2） 移项，得 3x 12,两边都除以3， 得 x4,这个不等式的解集在数轴上表示为：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（3） ：（4）五. 一元一次不等式与一次函数六. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组 . 2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分 ,就说这个不等式组无解 . 几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定 . 3. 解一元一次不等式组的步骤: (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集 . 两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b 为实数 ,且 ab ba两大取较大bxaxxa ba两小取小bxaxaxb ba大小交叉中间找bxax无解ba在大小分离没有解(是空集 ) 第二章分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. 2. 因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系: (1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式 ; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 把下列各式分解因式（1）8x72=8（x9）（2）a2b5ab=ab（a5）（3）4m36m2=2m2（2m3）（4）a2b5ab+9b=b（a25a+9）（5） a2+abac=（ a2 ab+ac）=a（ab+c）（6） 2x3+4x22x=（ 2x34x2+2x）=2x（x22x+1）二. 提公共因式法1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式 .这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: )(cbaacab精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载、做一做请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“”号，使等式成立: （1）2a=_（a2）;（2）y x=_（ xy）;（3）b+a=_（a+b）; （4） （ba）2=_（ab）2;（5） m n=_（ m+n）; （6） s2+t2=_（s2t2）. 2. 概补充练习把下列各式分解因式解： 1.5（xy）3+10（yx）2=5（xy）3+10（xy）2=5（xy）2 （xy） +2=5（xy）2（xy+2）; 2. m（ab） n（ba）=m（ab） +n（a b）=（ab） （m+n）; 3. m（mn）+n（nm）=m（mn） n（ m n）=（mn） （mn）=（mn）2; 4. m（mn） （pq） n（nm） （pq）= m（mn） （pq）+n（mn） （pq）=（mn） （ pq） （ m +n）; 概念内涵 : (1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式 ,也可能是多项式 ; (3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(cbammcmbma3. 易错点点评 : (1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是否提“干净” ; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后 ,括号中这一项为 +1,不漏掉 . 三. 运用公式法1. 如果把乘法公式反过来 ,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法. 2. 主要公式 : (1)平方差公式 : )(22bababa(2)完全平方公式 : 222)(2bababa222)(2bababa例 2把下列各式分解因式: （1）9（m+n）2（ mn）22）2x38x. 解： （1）9（m +n）2（ mn）2=3（ m +n） 2（ mn）2=3（m +n）+（mn） 3（m +n）（ m n） =（3 m +3n+ mn） （3 m +3nm +n）=（4 m +2n） （2 m +4n）=4（2 m +n） （m +2n）（2）2x38x=2x（x24）=2x（x+2） （x2）五、课后作业1.（ 1）x2y22xy+1=（xy1）2;（ 2）912t+4t2=（32t）2;（3） y2+y+41=（y+21）2; （4） 25m280 m +64=（5 m8）2;（ 5）42x+xy+y2=（2x+y）2;6）a2b24ab+4=（ab2）22.（1） （x+y）2+6（x+y）+9= （x+y）+32=（x+y+3）2; （2）a22a（ b+c）+（b+c）2=a（ b+c） 2=（abc）2; （3）4xy24x2yy3=y（ 4xy4x2y2）=y（4x24xy+y2）=y（2xy）2; （ 4） a+2a2a3=（ a2a2+a3）=a（12a+a2）=a（1 a）2. 3. 易错点点评 : 因式分解要分解到底 .如)(222244yxyxyx就没有分解到底 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载4. 运用公式法 : (1)平方差公式 : 应是二项式或视作二项式的多项式; 二项式的每项 (不含符号 )都是一个单项式 (或多项式 )的平方 ; 二项是异号 . (2)完全平方公式 : 应是三项式 ; 其中两项同号 ,且各为一整式的平方 ; 还有一项可正负 ,且它是前两项幂的底数乘积的2 倍. 5. 因式分解的思路与解题步骤: (1)先看各项有没有公因式 ,若有,则先提取公因式 ; (2)再看能否使用公式法 ; (3)用分组分解法 ,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解 ; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. .活动与探究把（ a+b+c） （bc+ca+ab） abc 分解因式解： （a+b+c） （bc+ca+ab） abc=a+（b+c） bc+a（b+c） abc=abc+a2（ b+c）+bc（b+c）+a（ b+c）2abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2=（b+c） a2+bc+a（b+c） =（b+c） a2+bc+ab+ac=（b+c） a（ a+b）+c（a+b） =（b+c） （a+b） （a+c）四. 分组分解法 : 1. 分组分解法 :利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: )()()(nmbanmbnmabnbmanam2. 概念内涵 : 分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解 ,分组后是否可利用公式法继续分解因式. 3. 注意: 分组时要注意符号的变化 . 五. 十字相乘法 : 1.对于二次三项式cbxax2,将 a 和 c 分别分解成两个因数的乘积,21aaa, 21ccc, 且满足1221cacab,往往写成c2a2c1a1的形式 ,将二次三项式进行分解 . 如: )(22112cxacxacbxax2. 二次三项式qpxx2的分解 : )(2bxaxqpxxabqbap3. 规律内涵 : (1)理解:把qpxx2分解因式时 ,如果常数项 q 是正数 ,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与ba11精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载一次项系数 p 的符号相同 . (2)如果常数项 q 是负数 ,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同 ,对于分解的两个因数 ,还要看它们的和是不是等于一次项系数p. 4. 易错点点评 : (1)十字相乘法在对系数分解时易出错; (2)分解的结果与原式不等 ,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确. 第三章分式一. 分式1. 两个整数不能整除时 ,出现了分数 ;类似地 ,当两个整式不能整除时 ,就出现了分式 . 整式 A 除以整式 B,可以表示成BA的形式 .如果除式 B 中含有字母 ,那么称BA为分式 ,对于任意一个分式 ,分母都不能为零 . 例题讲解（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？5x7,3x21,123ab,7)(pnm,5,1222xyxyx,72,cb54. （2）当a=1， 2 时，分别求分式aa21的值 .当a为何值时，分式aa21有意义？当a为何值时，分式aa21的值为零？（ 1）中 5x7,3x21, 7)(pnm, 5, 72是整式；123ab,1222xyxyx,cb54是分式 .2. 整式和分式统称为有理式,即有: 分式整式有理式3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分 ,其主要依据是分数的基本性质: 分式的分子与分母都乘以 (或除以 )同一个不等于零的整式 ,分式的值不变 . )0(,MMBMABAMBMABA4. 一个分式的分子、 分母有公因式时 ,可以运用分式的基本性质 ,把这个分式的分子、 分母同时除以它的们的公因式 ,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分 . 二. 分式的乘除法1. 分式乘以分式 ,用分子的积做积的分子 ,分母的积做积的分母 ;分式除以以分式 ,把除式的分子、分母颠倒位置后 ,与被除式相乘 . 即: BDACDCBA, CBDACDBADCBA2. 分式乘方 ,把分子、分母分别乘方 . 即: )( 为正整数nBABAnnn逆向运用nnnBABA,当 。