基本不等式 新高考 数学一轮复习专项提升精讲精练 （含答案解析）.docx

2.2 基本不等式（精讲）（提升版）思维导图考点呈现例题剖析考点一 基本不等式常考形式【例1-1】（2022·河北石家庄·高三阶段练习）（多选）已知，，且，则（       ）A．的最小值是1 B．的最小值是C．的最小值是4 D．的最小值是5【答案】BC【解析】由已知，得，则，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以选项A错误；，当且仅当，时取等号，所以的最小值是，所以选项B正确；，当且仅当时取等号，所以的最小值是4，所以选项C正确；，当且仅当时取等号，所以的最小值是，所以选项D错误．故选：BC．【例1-2】（2022·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（       ）A．40 B． C．42 D．【答案】D【解析】，又，当且仅当时取“=”，则，所以当时，的最大值为.故选：D【例1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（       ）A．9 B． C．10 D．无最小值【答案】A【解析】由，得，即，所以：，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选：A【例1-4】（2022·全国·高三专题练习）已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（       ）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】设，则， 当时，，所以函数在上为增函数，∵   ∴     ，即，又，∴ ，∴当且仅当时等号成立，∵不等式对任意的正实数恒成立，∴ ，故选：D.【一隅三反】1．（2022·海南）（多选）已知，是正实数，则下列选项正确的是（       ）A．若，则有最小值2 B．若，则有最大值5C．若，则有最大值 D．有最小值【答案】AC【解析】对于A，，，，，当且仅当，即时取等号，则有最小值2，故A正确；对于B，，，，，当且仅当，即时取等号，则有最大值4，故B错误；对于C，，，，，当且仅当，即时取等号，则则有最大值，故C正确；对于D，当时，，故D错误；故选：AC2．（2022·全国·高三专题练习（理））若a，b，c均为正实数，则的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且，即时取等号，则的最大值为．故选：A．3．（2022·全国·高三专题练习）已知三次函数在上单调递增，则最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】在上单调递增，恒成立，，，，，，令，设，则，，，（当且仅当，即时取等号），，即的最小值为.故选：.4．（2022·全国·高三专题练习）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由知，，当且仅当时，等号成立，则使不等式有解，只需满足即可，解得故选：C5．（2022·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为________.【答案】【解析】由，得，设，其中.则，从而，记，则，不妨设，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：.考点二 基本不等式与其他知识综合【例2-1】（2022·河南许昌）若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，若直线被截得弦长为，说明圆心在直线：上，即，即，∴，当且仅当，即时，等号成立．故选：D.【例2-2】．（2022·全国·高三专题练习）设，则函数的最大值为___________．【答案】【解析】因为，，函数，当且仅当等号成立．故最大值为．【例2-3】（2022·山东·广饶一中）直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点、在过点的直线上，若，，，则下列结论错误的是（       ）A．为常数 B．的最小值为C．的最小值为 D．、的值可以为，【答案】B【解析】如下图所示：由，可得，，若，，，则，，，、、三点共线，，，故A正确；所以，时，也满足，则D选项正确；，当且仅当时，等号成立，C成立；，当且仅当时，即，时等号成立，故B选项错误.故选：B【一隅三反】1．（2022·江西·临川一中）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（       ）A． B．9 C． D．2【答案】B【解析】由函数的图象经过，则，即．，当且仅当时取到等号．故选：B．2．（2022·江西·模拟预测（理））在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在m，使得，则的最小值为（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为q，前三项的和为7，则，即，解得或（舍去），又由，得，即，得，所以，当且仅当时，等号成立，且m，，故选：B3．（2022·安徽省舒城中学）如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由条件可得，∵∴，因为三点共线，∴，∴，∵，∴，则；当且仅当，即时取等号，故的最小值是；故选：C．4．（2022·广东·广州六中高一期末）己知第二象限角的终边上有异于原点的两点，，且，若，则的最小值为（       ）A． B．3 C． D．4【答案】B【解析】因为，所以，又第二象限角的终边上有异于原点的两点，，所以，则，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：B5．（2021·江苏·扬州大学附属中学）不等式的解集为，则的最大值为____________.【答案】【解析】当时，即不等式的解集为，则，，要使得有意义，此时，则；当时，若不等式的解集为，则，即，所以，，因为，则，当时，则，此时；当时，则，令，则，当且仅当时，等号成立.综上所述，的最大值为.故答案为：.6．（2022·安徽·合肥一中）已知圆的半径为3，，为该圆的两条切线，为切点，则的最小值为___________.【答案】【解析】如图所示，设（），，则，，，，当且仅当即时等号成立，∴的最小值是.故答案为：．7．（2021·四川达州·一模（文））定义在上的函数满足，当时，.设在上最小值为，则___________.【答案】【解析】当时，因为，所以当且仅当，即时，取等号；所以当时，；又所以；当时，则，所以；又在上最小值为，所以当时，则所以即，所以所以数列是以为首项，3为公差的等差数列，即所以.故答案为：.考点三 连用两次基本不等式【例3】（2021·广东河源·模拟预测）函数的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】（当且仅当，即时等号成立），（当且仅当，即时等号成立）.两个等号可以同时成立，的最小值为.故选：C.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若a，，，则的最大值为（       ）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】，当且仅当时，等号成立；又，当且仅当时，即，等号成立； ，解得，，所以的最大值为故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）已知实数 满足 ，则 的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】若ab+c取最小值，则ab异号，c＜0，根据题意得：，又由，即有，，当，分别取时，等号成立，即 的最小值为-5，故选：D3.若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．【答案】4　【解析】因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.。