理论力学超典型例题ppt课件.ppt

例题例题匀匀质质细细杆杆 ABAB 的的质质量量是是 MM , ,长长度度是是 2 2l l , ,放放在在铅铅直直面面内内, ,两两端端分分别别沿沿光光滑滑的的铅铅直直墙墙壁壁和和光光滑滑的的水水平平地地面面滑滑动动假假设设杆杆的的初初位位置置与与墙墙成成交交角角  0 0 , ,初初角角速速度度等等于于零零; ;试试求求杆杆沿沿铅铅直直墙墙壁壁下下滑滑时时的的角角速速度度和和角角加加速速度度, ,以以及及杆杆开开始始脱脱离离墙墙壁壁时时它它与与墙墙壁壁所所成成的角度的角度  1 1 . .例题例题解：解：解：解： 在 A 端脱离墙壁以前,受力如图所示杆作平面运动,取坐标系 Oxyz ,则杆的运动微分方程可写成例题例题由几何关系知将式(4)和(5)对时间求导,得把 (a)和(b)分别代入 (1)和(2),再把 NA 和 NB 的值代入式 (3)例题例题最后得杆 AB 的角加速度利用关系把上式化成积分求得杆 AB 的角速度例题例题当杆即将脱离墙时，当杆即将脱离墙时，N NA A→→0 0以N NA A = = 0 0代代入入(1)(1)，再根据，再根据( (a a) )得得把把( (c c) ) 和和( (d d) )的表达式在的表达式在   = =  1 1 时的值代入时的值代入上式，得关系上式，得关系整理后，求得杆开始脱离墙时与墙所成的整理后，求得杆开始脱离墙时与墙所成的夹角夹角杆开始脱离墙壁时它与墙壁所成的角度杆开始脱离墙壁时它与墙壁所成的角度  1:长长为为l、、质质量量为为m的的均均质质细细杆杆静静止止直直立立于于光光滑滑水水平平面面上上。

当当杆杆受受微微小小干干扰扰而而倒倒下下时时，，求求杆杆刚刚刚刚到到达达地地面面时时的的角角速速度度和和地面约束力地面约束力ACvCvA例题例题4由质心运动定理可知，直杆在倒下过程中其质心将铅直下落1. 求杆刚刚到达地面时的角速度求杆刚刚到达地面时的角速度由动能定理得：ACvCvA杆刚刚到达地面时，A点为瞬心解解解解: :例题例题42. 求杆刚刚到达地面时的地面约束力由刚体的平面运动微分方程得将上式沿铅垂方向投影，得联立求解得ACaCmgNaA例题例题4 绳绳绳绳子子子子 BO 剪剪剪剪断断断断后后后后, ,杆杆杆杆 AB 将将将将开开开开始始始始在在在在铅铅铅铅直直直直面面面面内内内内作作作作平平平平面面面面运运运运动动动动由由由由于于于于受受受受到到到到绳绳绳绳 OA 的的的的约约约约束束束束，，，，点点点点 A 将将将将在在在在铅铅铅铅直直直直平平平平面面面面内内内内作作作作圆圆圆圆周周周周运运运运动动动动. .在在在在绳绳绳绳子子子子 BO 刚刚刚刚剪剪剪剪断断断断的的的的瞬瞬瞬瞬时时时时，，，，杆杆杆杆 AB 上上上上的的的的实实实实际际际际力力力力只只只只有有有有绳绳绳绳子子子子 AO 的的的的拉拉拉拉力力力力 T T 和杆的重力和杆的重力和杆的重力和杆的重力 G G。

用长用长用长用长 l 的两根绳子的两根绳子的两根绳子的两根绳子 AO 和和和和 BO 把长把长把长把长 l 、、、、质量是质量是质量是质量是 m 的匀质细杆悬在点的匀质细杆悬在点的匀质细杆悬在点的匀质细杆悬在点 O ( (图图图图 a a ) )当杆静止时，突然剪断绳子当杆静止时，突然剪断绳子当杆静止时，突然剪断绳子当杆静止时，突然剪断绳子 BO ，试求刚剪断瞬时另一绳，试求刚剪断瞬时另一绳，试求刚剪断瞬时另一绳，试求刚剪断瞬时另一绳子子子子 AO 的拉力解：解：解：解： 在在在在引引引引入入入入杆杆杆杆的的的的惯惯惯惯性性性性力力力力之之之之前前前前, ,须须须须对对对对杆杆杆杆作作作作加加加加速速速速度度度度分析取坐标系分析取坐标系分析取坐标系分析取坐标系 Axyz 如图所示如图所示如图所示如图所示G GT Ta aCxCxa aCyCyε εa aA At txy例题例题 杆的惯性力合成为一个作用在质心杆的惯性力合成为一个作用在质心杆的惯性力合成为一个作用在质心杆的惯性力合成为一个作用在质心的力的力的力的力 R RQ Q 和一个力偶和一个力偶和一个力偶和一个力偶, ,两者都在运动平面两者都在运动平面两者都在运动平面两者都在运动平面内，内，内，内， R RQ Q 的两个分量大小分别是的两个分量大小分别是的两个分量大小分别是的两个分量大小分别是R RxQ xQ = = mamaCx , Cx , R RyQ yQ = ma= maCyCy力偶矩力偶矩力偶矩力偶矩 MMCQ CQ 的大小是的大小是的大小是的大小是MMCQ CQ = = J JCzCz´ ´ε ε旋向与旋向与旋向与旋向与ε ε相反相反相反相反( ( 如图如图如图如图b b) )CG GT Ta aCxCxa aCyCyε εa aA At txy例题例题由动静法写出杆的动态平衡方程由动静法写出杆的动态平衡方程由动静法写出杆的动态平衡方程由动静法写出杆的动态平衡方程, ,有有有有且对于细杆且对于细杆且对于细杆且对于细杆 , , J JCzCz´ ´ = = mlml2 2/12./12.（（（（1 1））））（（（（2 2））））（（（（3 3））））a aA A = = a aAnAn + + a aA A    = = a aCxCx + + a aCyCy + + a aAC AC     + + a aACACn n利用刚体作平面运动的加速度合成定理，以质心利用刚体作平面运动的加速度合成定理，以质心利用刚体作平面运动的加速度合成定理，以质心利用刚体作平面运动的加速度合成定理，以质心 C 作基点作基点作基点作基点, ,则点则点则点则点 A 的加速度为的加速度为的加速度为的加速度为例题例题在绳在绳在绳在绳 BOBO 刚剪断的瞬时刚剪断的瞬时刚剪断的瞬时刚剪断的瞬时, ,杆的角速度杆的角速度杆的角速度杆的角速度ω ω = = 0 0 , ,角加速度角加速度角加速度角加速度ε ε≠ ≠0 0. .因此因此因此因此又又又又 a aAn An = 0= 0, ,加速度各分量的方向如图加速度各分量的方向如图加速度各分量的方向如图加速度各分量的方向如图( (c c) )所示所示所示所示. .把把把把 a aA A 投影到点投影到点投影到点投影到点 A A 轨迹的法线轨迹的法线轨迹的法线轨迹的法线 AO 上上上上, ,就得到就得到就得到就得到a aACACn n = = AC AC · ·ω ω2 2 = 0= 0而而而而a aACAC   = = lε lε/2/2这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件. .即即即即（（（（4 4））））a aA A = = a aAnAn + + a aA A    = = a aCxCx + + a aCyCy + + a aAC AC     + + a aACACn n例题例题由动静法写出杆的动态平衡方程由动静法写出杆的动态平衡方程由动静法写出杆的动态平衡方程由动静法写出杆的动态平衡方程, ,有有有有联立求解方程联立求解方程联立求解方程联立求解方程(1)(1)～～～～(4),(4),就可求出就可求出就可求出就可求出（（（（1 1））））（（（（2 2））））（（（（3 3））））（（（（4 4））））例题例题图图中中两两根根匀匀质质刚刚杆杆各各长长 2l ，，质质量量为为 m ，，在在 B 端端用用铰铰链链连连接接，， A 端端用用铰铰链链固固定定，，而而自自由由端端 C 有有水水平平力力 F 作作用用，，求求系系统统在在铅直面内的平衡位置。

铅直面内的平衡位置mgmgF例题例题6-7Page 14 本例的系统具有两个自由度，它的位置可以本例的系统具有两个自由度，它的位置可以用角用角 1 和和 2 (以顺时针为正以顺时针为正)来表示各主动力的来表示各主动力的作用点有关坐标是作用点有关坐标是解：解：这就是约束方程这就是约束方程当角当角 1 和和 2 获得变分获得变分 1 和和 2 时，各点的有关虚位移是时，各点的有关虚位移是mgmgF例题例题6-7Page 15根据虚位移原理的平衡方程，有根据虚位移原理的平衡方程，有即即mgmgF例题例题6-7Page 16因为因为 1 和和 2 是彼此独立的，所以上式可以分是彼此独立的，所以上式可以分解成两个独立方程解成两个独立方程从而求得平衡时的角度从而求得平衡时的角度1 和和 2 mgmgF例题例题6-7Page 17● ● 应用广义力定义应用广义力定义求广义力的方法求广义力的方法Page 18 特特别别指指出出，，求求广广义义力力时时并并不不一一定定要要从从定定义义即即出出发发在在解解决决具具体体问问题题是是时时，，从从元元功功出出发发直直接接求求广广义义力力往往往往更更为为方方便便。

注注意意到到各各广广义义坐坐标标q1 , q2 , …, qk是是彼彼此此独独立立的的，，因因此此为为求求某某个个广广义义力力Qt可可以以取取一一组组特特殊殊的的虚虚位位移移，，只只令令 ，而其余的，而其余的 ，从而写成，从而写成式式中中 表表示示仅仅虚虚位位移移δqt非非零零时时系系统统上上主主动动力力的的虚虚功功之之和和于于是是，，求得对应广义坐标求得对应广义坐标qt的广义力的广义力● ● 应用虚功应用虚功求广义力的方法求广义力的方法Page 19 完整系统的拉氏方程是一组对应于广义坐标完整系统的拉氏方程是一组对应于广义坐标q1，， q2，，…，， qk的的k个独个独立二阶微分方程，式中消去了全部理想约束的未知约束力立二阶微分方程，式中消去了全部理想约束的未知约束力拉格朗日方程应用举例拉格朗日方程应用举例Page 20 （（4））将将Q 、、T（（或或L））代代入入拉拉格格朗朗日日方方程程，，得得到到k个个独独立立的的二二阶阶微微分分方方程，即系统的运动微分方程组。

程，即系统的运动微分方程组3）求广义力比较方便而且常用的是从式）求广义力比较方便而且常用的是从式求得 （（1）选定研究对象，确定该系统的自由度数目，并恰当地选择同样数）选定研究对象，确定该系统的自由度数目，并恰当地选择同样数目的广义坐标目的广义坐标2）用广义坐标、广义速度和时间的函数表示出系统的动能用广义坐标、广义速度和时间的函数表示出系统的动能应用拉格郎日方程建立系统的运动微分方程时，一般步骤如下：应用拉格郎日方程建立系统的运动微分方程时，一般步骤如下： 特别是当主动力有势时，则只须写出势能特别是当主动力有势时，则只须写出势能V或拉格朗日函数或拉格朗日函数L=T-V，然，然后求偏导数后求偏导数拉格朗日方程应用举例拉格朗日方程应用举例Page 21课件部分内容来源于网络，课件部分内容来源于网络，如对内容有异议或侵权的请如对内容有异议或侵权的请及时联系删除！及时联系删除！此课件可编辑版，请放心使此课件可编辑版，请放心使用用！！。