傅里叶级数课程及试题讲解.docx

傅里叶级数课程及试题解说第15章 傅里叶级数§15.1傅里叶级数一基本内容一、傅里叶级数f(x)anxn在幂级数议论中n1，可视为f(x)经函数系线性表出而得．不如称{1,x,x2,L,xn,L}为基，则不一样的基就有不一样的级数．今用三角函数系作为基，就获取傅里叶级数．1 三角函数系函数列1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,L,cosnx,sinnx,L称为三角函数系．其有下边两个重要性质．(1) 周期性每一个函数都是以2为周期的周期函数；(2) 正交性随意两个不一样函数的积在[,]上的积分等于零，随意一个函数的平方在上的积分不等于零．关于一个在[,]可积的函数系un(x):x[a,b],n1,2,Lb的内积为un(x),um(x)un(x)um(x)dx，aun(x),um(x)l0mn0mn，则称函数系un(x):x[a,b],n假如系．因为1,sinnx1sinnxdx1cosnxdx0；sinmx,sinnxsinmxsinnxdxmn0mn；cosmx,cosnxcosmxcosnxdxmn0mn；sinmx,cosnxsinmxcosnxdx0；1,112dx2，，定义两个函数1,2,L 为正交因此三角函数系在,上拥有正交性，故称为正交系．利用三角函数系构成的级数称为三角级数，此中a0,a1,b1,L,an,bn,L为常数2 以2为周期的傅里叶级数定义1设函数f(x)在,上可积，11akf(x),coskxf(x)coskxdxk0,1,2,L；bk1f(x),sinkx1f(x)sinkxdxk1,2,L，称为函数f(x)的傅里叶系数，而三角级数称为f(x)的傅里叶级数，记作a0ancosnxbnsinnxf(x)～2n1．这里之因此不用等号，是因为函数f(x)按定义1所得系数而获取的傅里叶级数其实不知其能否收敛于f(x)．二、傅里叶级数收敛定理定理1若以2为周期的函数f(x)在[,]上按段圆滑，则a0ancosnxbnsinnxf(x0)f(x0)22，n1此中an,bn为f(x)的傅里叶系数．定义2假如f(x)C[a,b]，则称f(x)在[a,b]上圆滑．若x[a,b),f(x0),f(x0)存在；x(a,b],f(x0)，f(x0)存在，且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称f(x)在[a,b]上按段圆滑．几何解说如图．按段圆滑函数图象是由有限条圆滑曲线段构成，它至多有有限个第一类中断点与角点．y角点推论假如f(x)是以2为周期的连续函数，且在[,]上按xR，Ox段圆滑，则a0ancosnxbnsinnx有f(x)．2n1定义3设f(x)在(,]上有定义，函数称f(x)为的周期延拓．二 习题解答1 在指定区间内把以下函数睁开为傅里叶级数(1)f(x)x,(i)x,(ii)0x2；解：(i)、f(x)=x，x(,)作周期延拓的图象以下．其按段圆滑，故可睁开为傅里叶级数．由系数公式得a0110f(x)dxxdx．11xd(sinnx)当nanxcosnxdx1时，n11sinnxdx0xsinnx|nn，1xcosnx|1cosnxdx(1)n12nnn，f(x)2(1)n1sinnx,)为所求．因此n1n，x((ii) 、f(x)=x，x(0,2)作周期延拓的图象以下．其按段圆滑，故可睁开为傅里叶级数．由系数公式得1212a0f(x)dx0xdx20．当n1时，因此(2)1212xsinnx|sinnxdx00n0n，1xcosnx|212cosnxdx200nnn，f(x)2sinnxn，x(0,2)为所求．n1f(x)=x2,(i)-π