第四部分概率.ppt

第四部分 概率第第13章章 随机事件及概率随机事件及概率1. 随机事件随机事件: 可能发生可能发生,也可能不发生的事件也可能不发生的事件.例例13.1 投一枚硬币事件A=正面朝上; 事件B=正面朝下例例13.2 投两枚硬币事件A=两枚均正面朝上; 事件B=两枚均正面朝下;事件C=一枚正面朝上,另一枚正面朝下;事件D=至少一枚正面朝上一、事件及概率一、事件及概率例13.3 十个产品(8个正品,2个次品),从中取3个A=三个都是正品;B=至少一个次品;C=三个都是次品; ----不可能事件D=至少一个正品. ----必然事件一.、事件及概率2. 随机事件的概率随机事件的概率例例: 抛硬币试验 Kerrich 抛硬币结果 一、事件及概率 历史上其他人的结果结论结论:一枚公正的硬币,不管以前的结果如何,下一次得到头像的机会总是50%. 随着抛掷次数的增加,头像与期望数之间的差的绝对值可能会增加. 但是,与抛掷次数相比,差可能逐渐减少.频率趋近 50%.一、事件及概率（（1）定义：）定义： 在一组条件下,重复n次试验, 其中随机事件A发生μ次,当n增加时, 称p为随机事件A发生的概率概率, 记为P(A)=p. (2)性质：性质：二、古典概型例13.4 盒中有5个球,其中3个白球,2个黑球,任选1个.求P(白球)=? 解: 因为5个球被取到的机会相等,所以, P(白球)=3/5.例13.5 同上. 任取2个. 求: P(两白)=? 解: P(两白)=3/10.二、古典概型1.定义定义: 随机实验 称为是古典概率模型古典概率模型，如果它满足以下条件：（1）实验基本结果只有有限多种 { A1,…, An};（2）当 ij时, Ai 和 Aj 是不会同时发生的；（3）各个{Ai} 地位是对称的，出现的可能性的大小 是相等的。

注: 其中, A1,…, An 称为称为基本事件基本事件；；二、古典概型2. 古典概型的概率计算：古典概型的概率计算： 若事件B是由基本事件{A1 ,A2 ,…,Am}组成，则B的概率为 P( B )=m/n.例13.5 (recall)试验的基本事件个数: 10=C(5,2)事件{两白}所含的基本事件个数:3=C(3,2)二、古典概型3. (补充复习补充复习)若干排列组合定理若干排列组合定理定理定理1: 有M个空盒， N 个符号,每个空格里面放1个符号，(1) 如符号允许重复，则一切可能有NM 种;(2) 如不允许重复(N>=M)，则是 N*(N-1)*…*(N-M+1)=P(N, M)例：一个骰子投掷2次，则所有可能结果为62=36例：36取7的排列，P(36,7)=36*35*…*30=42072307200二、古典概型定理定理2：：从N 个符号中任取M个，只看符号不看次序，则有 C(N,M)=N!/(M!(N-M)!)推论：推论：将将 n 个不同的元素个不同的元素 划分为划分为 k 组，组，指定指定 第一组有第一组有 个，第二组有个，第二组有 个，个，… ，第，第 k 组组 有有 ，， 则一切可能的结果有则一切可能的结果有 二、古典概型定理定理3：：袋中有两类元素总数有N个，第 I 类有N1个，第 II 类有N2个，从中取M个，则其中有M1个 I 类和 M2 个 II 类 （M1+M2=M) 的一切可能取法有 C(N1, M1)*C(N2, M2) 种例：52 (N)张牌中， 13 (N1)张，其它39 (N2) 张，从中 取5 (M) 张，其中有3 (M1) 张  的一切可能有 C(13, 3)*C(39, 2)=211926 种。

注：定理 3 的结果可以推广到更多种的场合：二、古典概型解：N=108; M=104, P=10-4=0.0001例13.6： 北京市号码为8位，任指一用户，其头4位号码 为6275的概率例13.7: 北京体育彩票有36个号，特等奖为7个号相同；香港的六合彩为47个号选6个，头等奖为6个号全相同问哪个概率大？解：北京为 N=C(36, 7), M=1, P=1/C(36, 7)=1/8347680 香港为 N=C(47, 6), M=1, P=1/C(47, 6)=1/10737600解：N=C(36, 7), M=C(7,6)*C(1,1)=7*1=7, P=M/N=8.386E-7例13.8： A={11, 24, 25, 26, 27, 33, 34}, B={16}, 从36个号中选7个数, 能选中A 中的6个号及 B的概率大小（一等奖）二、古典概型练习13.1 100件产品,其中5件次品. (1)取50件.求:P(无次品)=?(2)取50件.求: P(取出的50件中两件次品)=? 解：二、古典概型练习13.2 一对骰子. 点数和为4的机会多少? 解：机会是3/36.三、事件的运算及概率的加法公式1.事件的包含与相等事件的包含与相等(1) B  A, 或A  B (B包含A ): 如果 A 发生则 B 一定发生; 例: 投2枚硬币. A=正好1枚正面向上, B=至少1枚正面向上。

2) A=B (B等于A): 如果 A  B; B  A例:投2枚硬币. A=正好1枚正面向上, B=正好1枚正面向下三、事件的运算及概率的加法公式2. 事件的和与积事件的和与积(1)AB,或A+B (A与B的和): A, B至少有一个发生(2)AB ,或AB (A与B的积): A发生且B发生例: 投2枚硬币. A=正好1枚正面向上, B=正好2枚正面向上, C=至少1枚正面向上.C  A, C  B, A + B = C, AC = A, BC = B,AB = V (不可能事件).三、事件的运算及概率的加法公式3. 对立事件及事件的差对立事件及事件的差(1) (A 的对立事件 ): 非 A, 即 A 不发生.例: 投2枚硬币. A=至少1枚正面向上. = 2枚都向下.注：(2) A-B或A\B (A 与B 的差): A 发生, 而B不发生.注:三、事件的运算及概率的加法公式4. 事件的运算规律事件的运算规律三、事件的运算及概率的加法公式三、事件的运算及概率的加法公式Morgan公式公式三、事件的运算及概率的加法公式5. 事件的互不相容事件的互不相容(1) 若 AB=V(不可能事件),则称A与与B互不相容互不相容。

例：A＝ 正好1枚正面向上, B = 正好2枚正面向上.例: 从牌中抽 1 张, A = 红心, B = 黑桃例：一对骰子, 一黑, 一白. A = 白 1 与 B = 黑 1 互不相容吗？ (2) n个事件个事件A1,A2,…,An互不相容互不相容: 如果对于任意 ij,都有 Ai 和 Aj不相容三、事件的运算及概率的加法公式6. 概率的加法公式概率的加法公式(1) 若AB = V,则P(A+B)=P(A)+P(B) .注: 三、事件的运算及概率的加法公式例13.9 一副牌, 最上面一张牌. 求:(1)第一张是红心的机会 ;(2)第一张是黑桃的机会 ;(3)第一张是强花色(红心 或 黑桃)的机会 .例13.10 一对骰子. 至少一个 1 点的机会 = 1/6 + 1/6 = 1/3, 对吗? 解: 不对.应为 1/6 + 1/6 -1/36=11/36.三、事件的运算及概率的加法公式例13.11 17世纪法国赌徒, 采用两种赌法.第一种: 一个骰子, 掷4次, 至少1次出现 “1点”;第二种: 一对骰子, 掷24次, 至少1次出现“双1点”.请问这两种赌法是等可能的吗 ?解: 第一种: P(至少一次1点)=1-P(无幺点)=1-(5/6)4 = 51.8%.第二种:P(至少一次双1点)=1- P(无双1点) =1-(35/36)24=49.1% 三、事件的运算及概率的加法公式(2) 任意事件A与B,都有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)例13.12 3个球, 其中 1红, 1黄, 1白. 每次取 1个, 有放回, 取 3次.求: P( 无红 或 无黄) = ?解:令G = 无红, H = 无黄. 则 G + H = 无红 或 无 黄, GH = 无红 且 无黄.P(G) = (2/3)3, P(H) = (2/3)3, P(GH) = (1/3)3. 则P(G + H) = P(G) + P(H) –P( GH ) =(8+8-1)/27=15/27四、条件概率,乘法公式及独立性例例 一副牌（52张）洗过后，最上面的两张牌面朝下地放在桌上。

如果第二张牌是红心Q,你赢1美元1）你赢美元的机会是多少？（2）你翻开第一张牌，这张牌是梅花7现在你赢的机会是多少？解: (1) 1/52; (2) 1/51.四、条件概率四、条件概率,乘法公式及独立性乘法公式及独立性1. 条件概率条件概率: (1) 定义定义: 设设P(A)  0. 在在A发生的条件下发生的条件下, B发生发生的概率的概率, 记为记为 P(B|A).例例13.13 1613.13 16个球个球, , 其中其中 6 6个玻璃个玻璃, 10, 10个木质个木质. . 6 6个玻璃个玻璃: 2: 2个红个红, 4, 4个蓝个蓝; ; 10 10个木质个木质: 3: 3个红个红, 7, 7个蓝个蓝. . (1) (1) 任取任取 1 1个个, , 如果已知取到的球是蓝的如果已知取到的球是蓝的, ,那么该那么该球是玻璃球的概率是多少球是玻璃球的概率是多少? ? (2) (2) 任取任取 1 1个个, , 如果已知取到的球是玻璃的如果已知取到的球是玻璃的, ,那么那么该球是蓝球的概率是多少该球是蓝球的概率是多少? ? 四、条件概率四、条件概率,乘法公式及独立性乘法公式及独立性玻璃玻璃 木质木质和和红红235蓝蓝479和和61016列联表列联表解解: 令令A=任取任取 1个该球是蓝的个该球是蓝的; B=该球是玻璃的该球是玻璃的P(A)=9/16, P(B)=6/16(1)P(B|A)=4/9(2)P(A|B)=4/6四、条件概率四、条件概率,乘法公式及独立性乘法公式及独立性(2)条件概率的性质条件概率的性质P(A1+A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B)若若A1A2=V,则则 P(A1+A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)若任意若任意 AiAj=V,则则P(Ai+   +An|B)=P(Ai|B)+   +P(An|B)四、条件概率四、条件概率,乘法公式及独立性乘法公式及独立性2. 乘法公式乘法公式经验公式经验公式: P(B|A) = P(AB)/P(A) 乘法公式乘法公式: P(AB) = P(A)P(B|A) 例例 盒中盒中3张票张票: 红红, 白白, 蓝蓝. 随机随机,不放回不放回,取两张取两张.求求: 第一张红第一张红,且第二张白的概率且第二张白的概率.例例 抛硬币两次抛硬币两次. 如果第二次为头像如果第二次为头像,你赢你赢1美元美元.(a) 假如第一次抛得头像假如第一次抛得头像,你赢你赢1美元的概率美元的概率?(b) 假如第一次抛得背面假如第一次抛得背面,你赢你赢1美元的概率美元的概率?四、条件概率四、条件概率,乘法公式及独立性乘法公式及独立性注注: 乘法公式的推广乘法公式的推广P(A1A2   An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)   P(An|A1 A2  An-1)例例13.14 甲乙两地有线通往某处甲乙两地有线通往某处.甲地有甲地有10条条线路线路,在在 T时间内平均有时间内平均有100人打人打;乙地也有乙地也有10条线路条线路,在在 T时间内平均有时间内平均有50位本地人打位本地人打.在甲地打不通的人中有在甲地打不通的人中有1/5的人可能转到乙地去的人可能转到乙地去打打.试问试问,任指一在甲地打的人任指一在甲地打的人,他在甲地会打他在甲地会打不通且到乙地也打不通的概率是多大不通且到乙地也打不通的概率是多大?四、条件概率四、条件概率,乘法公式及独立性乘法公式及独立性解解: 设设 A={在甲地打不通在甲地打不通}, B={由甲地转往由甲地转往}, C={在乙地打不通在乙地打不通}, P(ABC)=? P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)P(A)=1-10/100=0.9P(B|A)=0.2P(C|AB)=1-10/68=58/68P(ABC)=0.90.2 (58/68)=0.1535四、条件概率四、条件概率,乘法公式及独立性乘法公式及独立性例例13.14 13.14 市市场场上上有有甲甲、、乙乙、、丙丙三三家家工工厂厂生生产产的的同同一一品品牌牌产产品品，，已已知知三三家家工工厂厂的的市市场场占占有有率率分分别别为为1/41/4、、1/41/4、、1/21/2，，且且三三家家工工厂厂的的次次品品率率分分别别为为 2 2％％、、1 1％％、、3 3％％，，试试求求市市场场上上该品牌产品的次品率。

该品牌产品的次品率3.3.全概公式全概公式定理定理 ( (全概公式全概公式) ) 若若A A1 1，，……, A, An n满足满足: :即即A1,A2, … ,An为样本空间的一个划分为样本空间的一个划分. 那么那么,对于任意事件对于任意事件B都有都有:四、条件概率四、条件概率,乘法公式及独立性乘法公式及独立性A1A2……………AnB用用Venn图表示全概公式图表示全概公式四、条件概率四、条件概率,乘法公式及独立性乘法公式及独立性例例13.15 13.15 有有甲甲乙乙两两个个袋袋子子，，甲甲袋袋中中有有两两个个白白球球，，1 1个个红红球球，，乙乙袋袋中中有有两两个个红红球球，，一一个个白白球球．．这这六六个个球球手手感感上上不不可可区区别别．．今今从从甲甲袋袋中中任任取取一一球球放放入入乙乙袋袋，，搅搅匀匀后后再再从从乙乙袋袋中中任任取取一球，问此球是红球的概率？一球，问此球是红球的概率？四、条件概率四、条件概率,乘法公式及独立性乘法公式及独立性解：设A1= 从甲袋放入乙袋的是白球； A2= 从甲袋放入乙袋的是红球； B= 从乙袋中任取一球是红球；思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？入乙袋的是白球的概率是多少？四、条件概率,乘法公式及独立性四、条件概率,乘法公式及独立性练习练习13.313.3 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解解: :设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1P(A|B0)=1, P(A|B1)=C(19,4)/C(20,4)=4/5, P(A|B1)=C(18,4)/C(20,4)=12/19P(A)=P(A|B0)P(B0)+ P(A|B0)P(B0)+ P(A|B0)P(B0) 2.2842P(B1|A)=P(B1A)/P(A) 0.0848四、条件概率四、条件概率,乘法公式及独立性乘法公式及独立性4. 独立性独立性 两事件是两事件是独立独立的的: 如果给定第一个事件如果给定第一个事件,无论它的无论它的结果是什么结果是什么, 第二件事件的概率都一样第二件事件的概率都一样.(1) 定义定义: 事件事件A与与B独立独立 (A   B): 若若P(AB)=P(A)P(B) .注注: 当当P(A)  0, P(AB)=P(A)P(B)  P(B|A)=P(B) 四、条件概率四、条件概率,乘法公式及独立性乘法公式及独立性(2) (2) 定理定理 以下四件事等价：以下四件事等价：(a)(a)事件事件A A、、B B相互独立；相互独立；( (b b) )事件事件A A、、B B相互独立；相互独立；(c)(c)事件事件A A、、B B相互独立；相互独立；( (d d) )事件事件A A、、B B相互独立。

相互独立 (3)3) 推广推广: A: A、、B B、、C C满足：满足：A A   B, A B, A   C, C, B B   C, (i) C, (i)则称事件则称事件A A、、B B、、C C两两独立两两独立；；若若在此基础上在此基础上还满足：还满足： P(ABC) P(ABC)＝＝P(A)P(B)P(C), (ii) P(A)P(B)P(C), (ii) 则称事件则称事件A A、、B B、、C C相互独立相互独立四、条件概率四、条件概率,乘法公式及独立性乘法公式及独立性思考题思考题: (i) 与与 (ii) 等价吗等价吗? 如果不如果不,请给出例子请给出例子.。