单调性与最大(小)值课件.ppt

三）,1.3.1单调性与最大(小)值,,,【教学重点】,【教学目标】,【教学难点】,课程目标,理解增函数、减函数的概念,掌握判断某些函数增减性的方法,步渗透数形结合的数学方法,函数单调性概念的理解及应用,函数单调性的判定及证明,教法:自学法、讨论法、讲授法,学法:归纳—讨论—练习,【教学方法】,【教学手段】,多媒体电脑与投影仪,☞判断函数 在区间(-1,1)上的单调性.,解:设,则 f(x1)－f(x2),∵－1＜x1＜x2＜1,,∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0,,∴ f(x1)－f(x2)＞0 .,即 f(x1)＞f(x2) .,故此函数在(-1,1)上是减函数.,课前热身,利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法,1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值,2. 利用图象求函数的最大(小)值,3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值,如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ；,如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；,1.增函数与减函数,一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x10,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).,证明:由a+b>0,得a>-b,b>-a.,又因为f(x)是R上的增函数,,∴ f(a) > f(-b), ① f(b)>f(-a), ②,①+②得f(a)+f(b) >f(-a)+f(-b).,练一练,分析:设,则,确定 正负号的关键,是确定,的正负号.,由于x1, x2在同一区间内,,要使 则需,要使 则需,例5.求函数 的最大值.,五、求函数的最大(小)值或值域,例5.求函数 的最大值.,解:任取x1, x2 , x1, x2∈[2,4],且x1< x2,,当 时,,所以函数f(x)在[2,4]上是减函数.,同理函数f(x)在[4,10]上是增函数.,五、求函数的最大(小)值或值域,解：∵函数,在[2,4]上是减函数.,所以f(x)在[2,4]上有最大值,,∵函数,在[4,10]上是增函数.,所以f(x)在[4,10]上有最大值,,所以函数f(x)在[2,10]上的最大值是,几何画板,例6.函数f(x)是定义在(0,+)上的递减函数,且f(x)< f(2x-3),求x的取值范围.,解: ∵函数f(x) 在(0,+)上为减函数,,∴x的取值范围是.,解之, 得,模拟试验,六、利用函数单调性解不等式,【1】已知函数y=f(x)在定义域R上是单调减函数,且f(a+1) > f(3-a),求实数a 的取值范围,【2】函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,若f(2-a) > f(3-a),求实数a 的取值范围,练一练,【例3】求f(x)=x2-2ax+2在 [ 2,4 ]上的最小值.,解:f (x) = (x-a) 2+2-a 2,,① 当a＜2时,,②当2≤a＜4 时，,③当a≥4时,,∴ f(x)min=f(2)=6－4a;,f(x)在[ 2,4 ]上是增函数,,∴ f(x)min=f(a)=2－a2.,f(x)在[2,4]上是减函数.,∴ f(x)min=f(4) = 18－8a.,几何画板,七、有关最值讨论题,求最大值：,① 当 a ＜ 3 时，,② 当 a ≥ 3 时，,f ( x ) max =,f ( x ) max = f ( 4 ) = 18 －8a,f ( x ) max = f ( 2 ) = 6 －4a,例6.已知f(x)=x2－4x－4,x∈[t,t+1](t∈R )，求 f(x)的最小值g(t)的解析式.,解:f(x)=(x－2)2－8,(1)当2∈[t,t+2],即1≤t≤2时，,g(t)=f(2)=－8;,(2) 当 t ＞ 2 时，,∴g(t) = f(t)=t2－4t－4;,(3)当t+1＜2,即t＜1时,,f(x)在[t,t+1]上是减函数,,∴g(t)=f(t+1)=t2-2t -7.,综上所述:g ( t ) =,f(x)在[t,t+1]上是增函数，,教材P11 练习T4.,教材P12 A组T7,9,10.,作业布置,再见,2007年9月13日,山东省临沂一中　李福国,课堂小结,1.函数单调性的定义：,图象法,定义法,2.函数单调性的判定：,3.函数单调性的应用：,(1)设元:对任意x1,x2∈D,且x1＜x2(2)作差:f(x1)-f(x2)(3)变形(4)判号 (5)定论,*求函数 的单调区间.,若函数f(x),g(x)在给定的区间I上具有单调性,(1)k＞0时,函数y=f(x)与y=kf(x)+b具有相同的单调性； (2)若f(x)恒为正或恒为负时,函数f(x)与1/f(x)具有相反的单调性.(3)若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.(4)若f(x)＞0,g(x)＞0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)·g(x)也是增(减)函数;若f(x)＜0,g(x)＜0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)·g(x)是减(增)函数.,单调性性质规律总结:,(4)奇函数在对称的区间上有相同的单调性,偶函数在对称的区间上有相反的单调性.(5)复合函数f[g(x)]的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定(同则增异则减) .,单调性性质规律总结:,复合函数：,y=f[g(x)],令 u=g(x),则 y=f(u),内函数,外函数,y=f[g(x)],原函数,,以x为自变量,以u为自变量,,,以x为自变量,(5)复合函数的单调性,复合函数单调性结论：,①当内外函数在各自定义域内同增同减时,原函数增;,②当内外函数在各自定义域内一增一减时,原函数减.,(1)f(x)是[a,b]上增函数,若存在x1, x2∈[a,b]且x1f(x2) f(x)是[a,b]上减函数 .,（正确）,（错误）,（错误）,（错误）,【2】判断下列两个命题的正误：,。