八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差学案（新版）华东师大版.doc

112.312.3 乘法公式乘法公式1 1 两数和乘以这两数的差 课前知识管理课前知识管理 1、两数和两数和与这两数差两数差的积等于这两个数的平方差：平方差：(a+b)(a-b)=a2-b2所以，我们把这个公 式叫作平方差公式平方差公式.平方差公式可以形象记忆为：(□+△)(□—△)=□2—△2. 几何背景：如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即 a2－b2. 若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成 SⅠ+SⅢ＝SⅠ+SⅣ＝（a+b） （a－b） ，从而验证了平方差公式（a+b） （a－b）＝a2－b2. 2、平方差公式的特征：平方差公式的特征：（1）公式左边的两个因式都是二项式，必须是相同的两数的和与差.或 者说两个二项式必须有一项完全相同，另一项只有符号不同.（2）公式中的 a 与 b 可以是数， 也可以换成一个代数式. 名师导学互动名师导学互动 典例精析典例精析： 知识点知识点 1 1：直接应用平方差公式例 1、计算：)421)(214(22xx． 【解题思路解题思路】此题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项24x，另外一项－21与21互为相反数，符合平方差公式的结构特点，因此，可直接套用平方差公式．【解解】)421)(214(22xx=4116)21()4(4222xx．【方法归纳方法归纳】将两个括号内的相同项24x看作□，符号相反的项－21与21看作△，就可以直接运用平方差公式. 对应练习对应练习：计算(y—2x)(—2x—y). 知识点知识点 2 2：连用平方差公式化简例 2、化简：.224488xyxyxyxyxy【解题思路解题思路】本题的前两项能利用平方差公式得到，它与第三项又能构22xy22xy成平方差公式，依次类推，较轻松地得到结果.【解解】原式==22224488xyxyxyxy444488xyxyxy=88881616.xyxyxy2【方法归纳方法归纳】连用平方差公式使运算量大大减小，实现简算目的.对应练习对应练习：计算：))()()()((884422bababababa知识点知识点 3 3：分组后运用平方差公式 例 3、计算: (2a+3)(3a+5)(2a-3)(3a-5). 【解题思路解题思路】若直接运算,则计算比较繁琐,如果运用乘法的交换律将第一、三结合，第二、 四结合分组，就可以利用乘法公式计算. 【解解】(2a+3)(3a+5)(2a－3)(2a－5)=[(2a+3)(2a－3)][(3a+5)(3a－5)]=(4a2-9)(9a2－25) =36a4－181a2+225. 【方法归纳方法归纳】根据算式中各因式的特征，恰当分组后利用乘法公式可以简化计算，减少运算 量. 对应练习对应练习：计算：(x+2)(x2+4)(x—2). 知识点知识点 4 4：添项后运用平方差公式例 4．计算；1) 12)(12)(12)(12(842．【解题思路解题思路】本题若添上一个因式“２－１”后，则可以连续四次运用平方差公式计算．【解解】原式＝1) 12)(12)(12)(12)(12(8421) 12)(12)(12)(12(8422＝1) 12)(12)(12(844＝16168821121) 12)(12(．【方法归纳方法归纳】本题的解题关键是在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式，使得它 能运用乘法公式计算．对应练习对应练习：某同学在计算时，把写成后，发现可以连续运用两数和) 14)(14(32314乘以这两数差公式计算：.2551161)4() 14)(14() 14)(14)(14() 14)(14(32222222请借鉴该同学的经验，计算：.1584221)211)(211)(211)(211 (知识点知识点 5 5：逆用平方差公式例 5．计算：22)43()32(abba【解题思路解题思路】若直接运用完全平方公式展开再相减，运算量大，若把式中的“32ba ”与“ab43”分别视为平方差公式中的 a、b，逆用平方差公式，则运算简便． 解：解：22)43()32(abba.abaabaabbaabba4126322433243322     【方法归纳方法归纳】本题正向思考解题较为麻烦，若抓住题目的特征，逆用公式解题，往往显得简 单．3对应练习对应练习：计算：.      22221011411311211知识点知识点 6 6：变形后运用平方差公式变形后运用平方差公式例 6.计算.293【解题思路解题思路】注意到 93 接近整百数 100，二者相差 7，若使用数字 93、7 巧构平方差公式便 可实现简算.【解解】.864949860077937939322【方法归纳方法归纳】公式可以变形为.22bababa22bbabaa对应练习对应练习：计算：298知识点知识点 7 7：拆项变形后使用 例 7、计算(x-y+1)(x+y-5). 【解题思路解题思路】观察式子的特点,可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式.然 后利用平分差公式计算. 解解：：(x-y+1)(x+y-5)=(x-y-2+3)(x-y-2-3)=[(x-2)-(y-3)][(x-2)+(y-3)]=(x-2)2-(y-3)2=x2- 4x+4-y2+6y-9=x2-y2-4x+6y-5. 【方法归纳方法归纳】拆项的关键在于将两个因式中的相同项、相反项正确分析出来，并恰当分组， 使之符合平方差公式的结构特征.对应练习对应练习：3232baba易错警示易错警示 例 8、计算：(2x+3)(2y-3). 错解：(2x+3)(2y-3)=4xy-9. 错解分析：(2x+3)(2y-3)中的两个因式不符合“两个数的和与这两个数的差的积”，因此不 能用平方差公式做，只能按多项式乘以多项式的法则进行运算． 正解：(2x+3)(2y-3)=4xy-6x+6y-9. 例 9、(2x+9)(2x-9). 错解：(2x+9)(2x-9)=4x2-9. 错解分析：(2x+9)(2x-9)应等于 2x与 9 的平方差，即(2x)2-92，错解中没有把第二项 9 平 方，当第二项是完全平方数时，很容易犯这样的错误． 正解：(2x+9)(2x-9)=(2x)2-92=4x2-81. 例 10、(a3-8)(a3+8). 错解：(a3-8)(a3+8)=a9-64. 错解分析：(a3-8)(a3+8)中(a3)2=a6，而(a3)2≠a9. 正解：(a3-8)(a3+8)=(a3)2-82=a6-64. 例 11、(-2a-7)(2a-7)． 错解错解：(-2a-7)(2a-7)＝4a2-49.4错解分析错解分析：(-2a-7)(2a-7)符合平方差公式的特征，但到底是哪个数的平方减去哪个数的平 方呢？错解中认为就是前面一个数的平方减去后面一个数的平方，但(-2a-7)(2a-7)≠(-2a)2-72，应该是两式中符号相同的数的平方减去符号相反的那个数的平方，即： (-2a-7)(2a-7)=(-7-2a)(-7+2a) =(-7)2-(2a)2或(-2a-7)(2a-7)=－(2a+7)(2a-7) =－[(2a)2-72]． 正解正解： (-2a-7)(2a-7) = (-7-2a)(-7+2a) =(-7)2-(2a)2=49-4a2． 课堂练习评测课堂练习评测 知识点知识点 1 1：：平方差公式平方差公式1、在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形（如图 1） ，把余下的ab()ab 部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图 2） ，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验 证的乘法公式是 （用字母表示） ．2、已知，则的值是 2ab224abb3、下列计算中，错误的有（ ）①（3a+4） （3a－4）=9a2－4；②（2a2－b） （2a2+b）=4a2－b2；③（3－x） （x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y） （x+y）=－x2－y2．A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个知识点知识点 2 2：：平方差公式的实际应用平方差公式的实际应用4、一个长方形的面积是(x2－9)平方米，其长为(x＋3)米，用含有 x 的整式表示它的宽为___________米.知识点知识点 3 3：：平方差公式的运用平方差公式的运用5 5、计算：、计算：; 222112 3443mnnm6、计算：(3x-2y)(9x2+4y2)(-2y-3x)7、平方差公式的常见变形(1)位置变化:(a+b)(-b+a)=________; (2)符号变化:(-a-b)(a-b)=_______.(3)系数变化:(2a+3b)(2a-3b)=_______. (4)指数变化:(a2+b3)(a2-b3)=_____.(5)项数变化:(a+2b-c)(a-2b-c)=_________________; 5(6)连用公式:(a+b)(a-b)(a2+b2)= __________________.课后作业练习课后作业练习 基础训练一、填空题1、_______. 2、______.)2)(2(yy)2)(2(yxyx3、______. 4、_______.)31 21)(31 21(baba))((22xaxa5、_______. 6、_______.))()((22bababa))((yxyx7、_______.))(())((yxyxyxyx8、_______）_______）.xy(xy(81122yx二、选择题 9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ） A ; B ;)22)(2(baba)2)(2(abbaC ; D .)2)(2(baba)2)(2(baab10、下列各式中，运算结果是的是（ ）223625yxA ; B ;)56)(56(xyxy)56)(65(xyyxC ; D .)56)(56(xyxy)65)(65(yxyx11、为了应用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),下列变形正确的是( )A.[x-(2y+1)]2 B.[x-(2y-1)][x+(2y-1)] C.[(x-2y)+1][(x-2y)-1] D.[x+(2y+1)]2三、解答题 12、计算.)2)(2())((nmnmnmnm13、先化简后求值.2),2)(2()2)(2(22xxxxx提高训练14、解方程.4)2() 1)(1(2xxxx15、已知代数式(-4x+3y)(-3y-4x)与多项式 M 的差是(2x+3y)(8x-9y),求多项式 M.616、一个长方形菜地,长为(2a+3)cm,宽为(2a-3)cm, 那么这块菜地的面积是多少?17、一个长方体的游泳池的长为(4a2+9b2)米,宽为(2a+3b)米,高为(2a-3b)米,那么。