4.4地基附加应力的计算.ppt

土力学与基础工程主讲：郭国梁齐齐哈尔大学建筑与土木工程学院1、序 地基中的附加应力是由建筑物荷载在土中引起的应力增量通过土粒之间的传递，向水平与深度方向扩散，如图所示 可以看出，随着水平距离与深度的增加附加应力逐渐减小附加应力的存在，会引起地基产生变形，导致沉降 集中应力作用于地面处，图左半部分表示各深度处水平面上各点垂直应力大小，图右半部分为各深度处的垂直应力大小2、竖向集中力作用下的土中应力计算 注意：在实际中是没有集中力的，它只是理论存在的，但它在土的应力计算中是一个基本公式 假定：土体是均匀的、连续的、各向同性的半无限弹性体 目的：计算半无限弹性体表面作用一个竖向集中力Q的情况下，半无限体内任意点M的应力 1885年，布西奈斯克给出了弹性力学的解答(包括应力及位移的表达式)，称为布西奈斯克解2、竖向集中力作用下的土中应力计算 法向应力表达式：剪应力表达式：2、竖向集中力作用下的土中应力计算 X、Y、Z轴方向的位移分别为：2、竖向集中力作用下的土中应力计算其中，我们最关心的是竖向法应力 ：为了方便定位和计算将 带入，得到：式中， 竖向集中力荷载作用下地基竖向附加应力系数，是(r/z)的函数，可制成表格查用，见表4-1。

2、竖向集中力作用下的土中应力计算 例 在地面上作用一集中荷载 Q=200kN，试确定： 1、在地基中 z=2m的水平面上，水平距离r =0、1、2、3和4m各点的竖向附加应力 值 ，并绘出分布图； 2、竖向集中力作用下的土中应力计算解：z (m)r (m)r/z(kPa)2000.477523.9210.50.273313.7221.00.08444.2231.50.02511.3242.00.00850.42、竖向集中力作用下的土中应力计算 2、在地基中 r=0的竖直线上距地面 z=0、1、2、3和4m处各点的 值，并绘出分布图；解：z (m)r (m)r/z(kPa)0000.47751000.477595.53000.477523.94000.477510.65000.47756.0 思考：在z=0，r=0处，竖向附加应力为什么是正无穷而不是200kPa？2、竖向集中力作用下的土中应力计算2、竖向集中力作用下的土中应力计算 3、取 =20、10、4、2kPa，反算在地基中 z=2m的水平面上的 r值和在 r=0m的竖直线上的z值，并绘出相应于该4个应力值的 等值线图解：2、竖向集中力作用下的土中应力计算规律： 集中力作用线上 的分布 值随深度的增加而急剧减小，但是在集中力作用点处是不适用的，因为当R 0时，应力及位移均趋于无穷大，这时土已发生塑性变形，按弹性理论解得的公式已不适用。

同一水平线上 的分布 距力的作用线愈远， 值愈小，在集中力作用线上， 值最大随着深度的增加，集中力作用线上的 值减少，而水平面上应力的分布趋于均匀 在不通过力作用线的竖线上 的分布 值随深度增加而变化的情况是：先从零开始增加，到某一深度达到最大值，然后又减小3、竖向分布荷载作用下的土中应力计算目的：若在半无限土体表面作用一分布荷载P(x,y)如图所示，计算土中某点M(x,y,z)的竖向应力 值3、竖向分布荷载作用下的土中应力计算过程：取元素面积 ，则均布荷载可等效为一个集中荷载 按布西奈斯克公式 得：在基底面积范围内进行积分求得：4、 圆形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算目的：若在半无限土体表面，圆形面积上作用一均布荷载P0，如图所示，计算土中某点M(x,y,z)的竖向应力 值过程：取元素面积 ，则均布荷载可等效为一个集中荷载 在圆面积范围内求积分可得 值：4、 圆形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算 式中： 为均布的圆形截面任意点下的附加应力系数，它是关于( 、 )的函数，可制表备查5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算 矩形面积中点O下土中竖向应力 计算目的：在矩形面积表面作用均布荷载P0 ，求中点下深度z处M点的竖向应力 值。

过程：将坐标原点取在矩形面积的中点处，建立坐标系，如图所示取元素面积 ，则均布荷载可等效为一个集中荷载 在矩形面积范围内求积分便可得到M点的竖向应力值 ：5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算 为应力系数，它是关于( 、 )的函数，可制表备查5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算 矩形面积角点c下土中竖向应力 计算 为应力系数，它是关于( 、 )的函数，可制表备查5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算 矩形面积任意点土中竖向应力 计算角点法思路：把图形分成若干个小矩形，使计算点成为各个小矩形的角点，然后利用叠加方法，将各个矩形内荷载在该点引起的应力叠加注意：计算附加应力时，l 总是代表长边，b总是代表短边如图4.18所示，在矩形面积abcd上作用均布荷载P，要求计算土中任意点 的竖向应力 5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算 例 有一矩形面积基础 b=1m，l=2m，其上作用均布荷载p0=100kN/m2，计算矩形面积上角点A、边点E、中点O及荷载面积边缘以外F、G点下深度z=1m处的附加应力大小。

解：1、A点下的应力值 查表得应力系数5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算 2、边点E下的应力值 查表得应力系数 3、中点O下的应力值 查表得应力系数5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算 4、边点F下的应力值 求矩形FJDH的应力系数： 查表得应力系数求矩形FJDH的应力系数： 查表得应力系数5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算 5、边点G下的应力值 求矩形GADH的应力系数： 查表得应力系数求矩形GBCH的应力系数： 查表得应力系数6、 矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算目的：在矩形面积上作用三角形分布布荷载 ，求荷载为零的角点下某深度处M点的竖向应力 值过程：将坐标原点取在荷载为零的角点上，z轴通过M点取元素面积 ，则均布荷载可等效为一个集中荷载 在矩形面积范围内求积分得到M点的竖向应力值 ：6、 矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算应力系数，是 和 的函数，可制成表备查同理，可以求得荷载最大值边的角点下深度z处N点的竖向应力 的公式为：应力系数，是 和 的函数，可制成表备查6、 矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算7、 平面问题 若在半无限弹性体表面作用无限长条形的分布荷载，荷载在宽度的方向分布是任意的，但在长度方向的分布规律则是相同的，如图所示。

在计算土中任一点M的应力时，只与该点的平面坐标M(x,z)有关，而与荷载长度方向Y轴坐标无关，这种情况属于平面应变问题 工程上一般常把路堤、堤坝、挡土墙以及长宽比 10的条形基础等，均视作平面应变问题计算7、 平面问题 (1) 均布线荷载作用时土中应力计算 目的：在地基土表面作用无限分布的均布线荷载P，计算土中任意点M的应力 过程：利用布西奈斯克公式求积分可得7、 平面问题 上式在弹性理论中称为弗拉曼(Flalnant)解若用极坐标表示时，将 代入即得：7、 平面问题 (2) 均布条形荷载作用时土中应力计算 目的1：在地基土表面作用条形均布线荷载P，其分布宽度为b，计算土中任意点M(x,z)的竖向应力 过程：将费拉曼公式在荷载分布宽度b范围内积分求得：7、 平面问题 应力系数，它是 及 的函数，可制表备查注意：坐标轴的原点是在均布荷载的中点处7、 平面问题 (2) 均布条形荷载作用时土中应力计算 目的2：地基土表面作用条形均布线荷载P，其分布宽度为b，计算土中任意点M的主应力 过程：采用极坐标表示，从M点到荷载边缘的连线与竖直线的夹角分别为 和 ，两条连线间的夹角以 表示，称为视角7、 平面问题 规定： 和 从直线MN到连线逆时针转时为正，反之为负。

取元素荷载宽度dx，可知 其上的荷载用线荷载 代替 利用极坐标表示的费拉曼公式，在荷载分布宽度范围内积分，即可求得M点的应力表达式 7、 平面问题 确定了一点的3个应力分量后，可以用材料力学中有关主应力与法向应力及剪应力间的关系式计算，即： 式中： 任意点M到均布荷载两端点的夹角7、 平面问题 为求最大主应力 的方向，令 与竖直线间的夹角为 ，根据材料力学公式可知： 结论：最大主应力 的作用方向正好位于视角的等分线上，而最小主应力与最大主应力垂直；土中凡视角相等的点，其主应力也相等；土中主应力的等值线将是通过荷载分布宽度两个边缘点的圆，如图所示7、 平面问题 (3) 三角形分布荷载作用时土中应力计算 目的：地基土表面作用三角形分布荷载，其最大值为P，分布宽度为b，计算土中任意点M(x,z)的竖向应力 过程：按公式4.18在宽度b范围内积分即得： 应力系数，它是 及 的函数，可制表备查7、 平面问题注意：坐标轴的原点是在三角形荷载的零点处8、 小结几种常见的基础底面形状及分布荷载作用时，土中应力的计算公式：。