角平分线的性质1.ppt

角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角OBAC平分线OBAC∠∠∠∠AOC AOC = =∠∠∠∠BOCBOC∠∠∠∠AOB =2AOB =2∠∠∠∠AOC AOC =2=2∠∠∠∠BOCBOC在在△△ADC和和 △△ABC中，中，AD= ABAC=ACDC=BC∴△△ADC ≌ ≌ △△ABC（（SSS））∴ ∠∠DAE=∠∠DAE==尺规尺规作图作图已知:∠AOB∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠∠AOC=∠BOCAOC=∠BOC.作法:l用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. .l1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.l2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠∠AOBAOB内内交于点C..l3.作射线OC.请你说明OC为什么是∠∠AOBAOB的的平分线,并与同伴进行交流.老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.ABOC则射线OC就是∠∠AOBAOB的平分线.ED 角平分线有什么性质呢？角平分线有什么性质呢？OC是是∠∠AOB的平分线，点的平分线，点P是射线是射线OC上的任意一点，上的任意一点， 1. 操操作作测测量量：：取取点点P的的三三个个不不同同的的位位置置，，分分别别过过点点P作作PD⊥⊥OA，，PE ⊥⊥OB,点点D、、E为为垂垂足足，，测测量量PD、、PE的的长长.将三次数据填入下表：将三次数据填入下表：2. 观察测量结果，猜想线段观察测量结果，猜想线段PD与与PE的大小关系，的大小关系， 写出结论：写出结论：____________ PD PE 第一次第一次第二次第二次 第三次第三次 COBAPD=PEpDE角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点角的平分线上的点 到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等题题设：一个点在一个角的平分线上设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等已知：已知：OC是是∠∠AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PD ⊥⊥OA ，，PE ⊥⊥OB，，垂足分别是垂足分别是D、、E.求证：求证：PD=PE.AOBPED结论：结论：C已知：已知：∠∠AOC= ∠∠BOC ，点，点P在在OC上，上，PD⊥⊥OA于于D，， PE⊥⊥OB于于E求证求证: PD=PEAOBEDP PC∵∵ PD⊥OAPD⊥OA，，PE⊥OBPE⊥OB证明：证明：∴∴ ∠∠PDO= ∠∠PEO= 90°在在△△PODPOD和和△△PEOPEO中中　　 ∴∴ △△PDO≌△≌△PEO（（AAS））　　∠∠ PDO＝＝∠∠PEO ∠∠ AOC＝＝∠∠BOC OP=OP∴∴ PD＝＝PE∵∵OCOC是是∠∠AOBAOB的平分线的平分线, , 且且PDPD⊥⊥OA,PEOA,PE⊥⊥OBOB∴PD=PE ∴PD=PE ( (角的平分线上的点到角的平分线上的点到角的两边距离相等角的两边距离相等) )几何语言几何语言: :角平分线性质：角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

角的平分线上的点到角的两边的距离相等EDOABPC 1 1、、 如如 图图 ,OC,OC是是 ∠∠AOBAOB的的 平平 分分 线线 , ,点点 P P在在 OCOC上上,PD⊥OA,PE⊥OB,,PD⊥OA,PE⊥OB,垂垂 足足 分分 别别 是是 D D、、 E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=__________cm.PE=__________cm.ADOBEPC4例例1:1:如图，在如图，在△△ABCABC中，中，∠∠C C＝＝90900 0，，ADAD平分平分∠∠BACBAC交交BCBC于点于点D D，若，若BCBC＝＝8,BD8,BD＝＝5 5，则点，则点D D到到ABAB的距离为？的距离为？A AC CD DB BE EE例例2 2：如图，：如图，△△ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、、CNCN相交于点相交于点P P求证：点求证：点P P到三角形三边的距离均相等到三角形三边的距离均相等ABCPEFGMN例例3 3：在：在△△OABOAB中，中，OEOE是是∠∠ AOBAOB的角平分线，且的角平分线，且EA=EBEA=EB，，ECEC、、EDED分别垂直分别垂直OAOA，，OBOB，垂足为，垂足为C C，，D D，，求证：求证：AC=BDAC=BD。

O OA AB BE EC CD DA A0 0B BM MN NP PC C1 1、如图，、如图，OCOC平分平分∠∠AOBAOB，， PM⊥OBPM⊥OB于点于点M M，，PN⊥OAPN⊥OA于点于点N N，， △△POMPOM的面积为的面积为6 6，，OM=6OM=6，则，则PN=_______PN=_______22 2、如图、如图:△ABC:△ABC中中, ∠C=90, ∠C=900 0，，ADAD是是∠∠BACBAC的的平分线，平分线，DE⊥ABDE⊥AB于于E E，，F F在在ACAC上，上，BD=DFBD=DF，求，求证：证：CF=EBCF=EB A AC CD DB BE EF3 3、、如图，如图，△△ABCABC中，中，∠∠C=90C=90°°，，AC=CBAC=CB，，ADAD为为∠∠BACBAC的平分线，的平分线，DE⊥ABDE⊥AB于点于点E E求证：求证：△△DBEDBE的周长等于的周长等于ABABABCDEB 思考：思考：如图所示如图所示OC是是∠∠AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任上任意一点意一点,问问PE=PD?为什为什么么?OAEDCPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不是角它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等所以不一定相等.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村路围成的一块平地上修建一个度假村. .要使这个要使这个度假村到三条公路的距离相等度假村到三条公路的距离相等, ,应在何处修建？应在何处修建？练习练习1：：如图，如图，△△ＡＢＣ的ＡＢＣ的∠∠Ｂ的外角的平Ｂ的外角的平分线ＢＤ与分线ＢＤ与∠∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．所在直线的距离相等．ＡＡＢＢＣＣＤＤＥＥＰＰF FGHＢＢＰＰ知识拓展知识拓展 如图，在如图，在△△ABC中，中，AC=BC，，∠∠C=90°，，AD是是△△ABC的角平分线，的角平分线，DE⊥⊥AB，垂足为，垂足为E。

1）已知）已知CD=4cm，求，求AC的长；的长；（（2）求证：）求证：AB=AC+CDBACDE练习练习2：： 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等. C●D●ABOP。