2022年利用零点分段法解含多绝对值不等式.docx

精品学习资源利用零点分段法解含多肯定值不等式对于含有两个或两个以上肯定值不等式的求解问题， 不少同学感到无从下手， 下面介绍一种通法——零点分段争论法．一、步骤通常分三步：⑴找到使多个肯定值等于零的点．⑵分区间争论， 去掉肯定值而解不等式． 一般地 n 个零点把数轴分为 n＋ 1 段进行争论．⑶将分段求得解集，再求它们的并集． 二、例题选讲例 1 求不等式 |x＋2|＋ |x－ 1|＞ 3 的解集．分析： 据肯定值为零时 x 的取值把实数分成三个区间， 再分别争论而去掉肯定值． 从而转化为不含肯定值的不等式．欢迎下载精品学习资源x解： ∵ |x＋ 2|＝2 〔x2〕 x， |x－ 1|＝1 〔x 1〕．欢迎下载精品学习资源x 2 〔 x 2〕 1 x 〔 x 1〕故可把全体实数 x 分为三个部分：① x＜－ 2，②－ 2≤x＜ 1，③ x≥ 1． 所以原不等式等价于下面三个不等式组：欢迎下载精品学习资源〔Ⅰ 〕x 2x 2 1 x，或〔Ⅱ 〕3x 1x 2 x，或 〔Ⅲ 〕1 32 x 1．x 2 1 x 3欢迎下载精品学习资源不等式组 〔Ⅰ 〕的解集是 { x|x＜－ 2} ， 不等式组 〔Ⅱ 〕的解集是 ，不等式组 〔Ⅲ 〕的解集是 { x|x＞ 1} ．综上可知原不等式的解集是 { x|x＜－ 2 或 x＞ 1} ． 例 2 解不等式 |x－1|＋ |2－ x|＞ 3－ x．解： 由于实数 1， 2 将数轴分成 〔－∞， 1] ，〔1， 2] ， 〔2，＋∞ 〕三部分，故分三个区间来争论．⑴ 当 x≤ 1 时，原不等式可化为－ 〔x－1〕－ 〔x－ 2〕＞ x＋ 3，即 x＜0．故不等式的解集是{ x|x＜ 0} ．⑵ 当 1＜ x≤ 2 时，原不等式可化为 〔x－ 1〕－ 〔x－ 2〕＞ x＋ 3，即 x＜－ 2．故不等式的解集是 ．欢迎下载精品学习资源⑶ 当 x＞ 2 时，原不等式可化为 〔x－ 1〕＋ 〔x－ 2〕＞ x＋ 3，即 x＞ 6．故不等式的解集是 { x|x＞ 6} ．综上可知，原不等式的解集是 { x|x＜ 0 或 x＞ 6} ．例 3 已知关于 x 的不等式 |x－5|＋ |x－ 3|＜ a 的解集是非空集合，求 a 的取值范畴． 解： ∵ x＝ 5 时， |x－ 5|＝ 0； x＝3 时， |x－ 3|＝ 0．⑴当 x≤ 3 时，原不等式可化为－ x＋ 5－ x＋ 3＜ a，即 a＞ 8－ 2x，由 x≤ 3，所以－ 2x≥－ 6，故 a＞ 2．⑵当 3＜ x≤ 5 时，原不等式可化为－ x＋ 5＋ x－ 3＜ a，即 a＞ 2．⑶当 x＞ 5 时，原不等式可化为 x－5＋ x－ 3＜a，即 a＞2x－ 8＞ 10－ 8＝ 2，故 a＞ 2． 综上知 a＞ 2．无理不等式与肯定值不等式●考试目标 主词填空① |f〔x〕|0〕, 去掉肯定值后，保留其等价性的不等式是 －aa〔a>0〕, 去掉肯定值后，保留其等价性的不等式是 f〔x〕>a 或 f〔x〕<－a.③ |f〔x〕|>| g〔x〕| f2〔x 〕>g2〔x〕. 2.无理不等式对于无理不等式的求解， 通常是转化为有理不等式 〔 或有理不等式组 〕求解 .其基本类型有两类 :欢迎下载精品学习资源① f 〔 x〕g〔 x〕g 〔 x〕f 〔 x〕02 或g 〔x〕g〔 x〕 0f 〔 x〕 0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源② f 〔 x〕g〔 x〕f 〔 x〕g〔 x〕f 〔 x〕00 .2g 〔 x〕欢迎下载精品学习资源3. 含有多个肯定值符号的不等式，通常是“分段争论” ，去掉肯定值符号 .4. 某些无理不等式和肯定值不等式，可用“换元法”或图像法求解 .5. 三角不等式||a|－|b||≤ |a± b|≤ |a|+|b|,此不等式可推广如下：|a1+a2+a3+⋯ +an|≤ |a1|+|a2|+|a3|+⋯ +|an |当且仅当 a1,a2,a3,⋯ an 符号相同时取等号 .●题型示例 点津归纳欢迎下载精品学习资源【例 1】 解无理不等式 .〔1〕 x 1 >2;〔2〕x 1 >2x－4;〔3〕x 1 <2x+1.【解前点津】〔1〕因 2>0,故原不等式可化为不等式组: x 1x 104.〔2〕因右边 2x 符号不定，故须分两种情形争论,〔3〕 与〔2〕类似，也须争论 .【规范解答】x 1 0〔1〕化原不等式为 :x 1 4xx15x 5 .〔2〕化原不等式为 :x 2x〔 x1 041〕0〔2x或4〕 2x 1 02x 4 0x 24x2x或17x 17 0 x122x17178或1 x 21x1717 .8〔3〕化原不等式为两个不等式组:x 12 xx01 0〔2xx1x123xx 0 .11〕 24x20【解后归纳】将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类争论， 要留意解集的交、并运算 .对于那些复杂的无理不等式，一般情形下读者不要去争论它，防止消耗太多精力 .【例 2】 解以下含有肯定值的不等式：〔1〕|x2－4|≤ x+2; 〔2〕|x+1|>|2x－1|; 〔3〕|x－1|+|2x+1|<4.【解前点津】 〔1〕 可直接去掉肯定值符号，转化为 －〔x+2〕≤ x2－4≤ 〔x+2〕;〔2〕 两边平方，去掉肯定值符号 ;〔3〕 当 x=1,－ 1 时,有 x－1=0 及 2x+1=0, 故可分段争论，去掉肯定值符号.2【规范解答】 〔1〕原不等式可化为 :欢迎下载精品学习资源－〔x+2〕 ≤ x2－4≤ x+2x 2 x 2 0x 2或x 1.欢迎下载精品学习资源2x x 6 02 x 3欢迎下载精品学习资源故原不等式的解集为［ 1,3］∪ { －2}.〔2〕化原不等式为 |x+1|2>|2x－1|2 〔2x－1〕2－〔x+1〕2<0.欢迎下载精品学习资源〔2x－1+x+1〕 ·〔2 x－1－x－1〕<0 3x· 〔x－ 2〕<0 0< x<2.欢迎下载精品学习资源〔3〕令 x－1=0 得 x=1, 令 2x+1=0 得 x=－ 1 .211x 4 1欢迎下载精品学习资源当 x∈, 时,原不等式可化为 :－〔x－1〕－〔2 x+1〕<422 x .3x 4 3 2欢迎下载精品学习资源当 x∈1 ,1 时,原不等式可化为 :－ 〔x－1〕+〔2 x+1〕<4.2欢迎下载精品学习资源1 x 1由 2x 210 且 2－x>0 故 0< x<2 时不等式才有意义 .欢迎下载精品学习资源当 x∈0,1时,因 lo g2 x≤ 0,log2〔2－x〕≥0,故此时原不等式为 :欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源－log2x+lo g2〔2－x〕≥ 1 lo g2 2xx ≥ log22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 x 2 x0 x 12 x 2 x0 x 120 x .3欢迎下载精品学习资源当 x∈ 〔1,2〕时,由于 log2x>0,lo g2〔2－x〕<0, 故此时原不等式为 :。