人教版新课程数学高一上第二章函数2.4反函数.doc

人教版新课程数学高一（上）第二章《函数》ξ2.4 反函数（第一课时）　一、设计思想以“教师为主导，学生为主体”这一教学原则，注重过程教学、问题教学设计教学过程．二、教材分析反函数是研究两个函数的相互关系的一项重要内容,学生掌握了反函数的知识,有助于进一步了解函数的概念,获得比较系统的函数知识,并为以后学习互为反函数的指数函数与对数函数以及三角函数与反三角函数奠定了基础.某函数的反函数，本身也是一个函数（从映射的角度可知,函数y=f(x)是定义域集合A到值域C的映射,它的反函数y=f-1（x）是集合C到集合A的映射），反函数的概念的建立，对研究原函数的性质有着重要作用三、学情分析通过前一阶段的教学，学生对函数的认识已有了一定的认知结构，主要体现在三个层面：知识层面：学生在已初步掌握了函数的基本性质能力层面：学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数图象的方法，通过第一章集合与函数的概念后初步具备了数形结合的思想情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡. 四、教学目标（1）知识目标：理解反函数的定义，知道函数的反函数的表示方法；会求某些简单函数的反函数。

2）能力目标：通过本节课的教学，加强培养学生的数学思想，借助比较原函数与反函数之间的关系，从中渗透“对比”、“由特殊到一般”、“化归”等数学思想3）情感目标：提高学生用辩证的观点分析解决问题的意识 五、重点难点本节课的重点是反函数的求法，难点是反函数的概念六、教学策略教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价、精讲精练 学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结七、课前准备投影仪、多媒体计算机等.八、教学过程：教 学 内 容师生活动教学意图一、创设情景 引入新课1． 函数的概念？2． 请回答下列问题：问题1： 回顾旧知提出问题学生回答教师展示复习函数的概念问题2：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt,其中速度v是常量1） 那么此函数的定义域和值域是什么呢？反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即，这时，s与t的地位发生了变化：s是自变量，t是因变量。

2） 那么我们称谁是谁的函数呢？结论：这函数中，每一对这样的两个函数之间都存在着必然的联系：① 它们的对应法则是互逆的；② 它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域.我们称这样的每一对函数为“互为反函数”. 那么什么是反函数呢？学生思考 学生回答学生回答从函数三要素方面回答师生共同分析师生一起总结x是 y的函数，这对学生来说是陌生的从学生熟知物理实例入手，以运动变化观点分析函数概念，渗透反函数思想再次点明反函数概念分析两个函数关系揭示反函数本质特征二．启发诱导 归纳总结一．反函数的概念1.定义：一般地，设函数的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y) 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) ()，叫做函数的反函数，记作.在函数中，y是自变量，x表示函数但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调中字母x，y，把它改写成2．正确理解反函数（1）什么样的两个函数才是反函数？ 对应法则恰好相反，定义域和值域恰好互换（对调）。

2）的反函数是谁？注意符号含义及读法？应该是.它们互为反函数，事实上反函数是相互的3）反函数也是函数，函数本质上是映射那么在映射观点下，反函数是什么？[从映射的定义可知，函数是定义域A到值域C的映射，而它的反函数是集合C到集合A的映射，]因此，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域（如下表）：函数反函数解析式定义域AC值 域CA（4）反函数定义给出了反函数的求法教 学 内 容学生在老师的启发诱导下通过观察、对比探索尝试抽象出反函数的定义老师板书媒体显示提出问题师生探索学生填表师生活动培养学生探索问题归纳总结问题的能力加深理解领会实质再次明确关系教学意图二．求反函数例1．（课本第62页 例1）求下列函数的反函数：①； ②；③ ④.解：①由解得∴函数的反函数是②由解得x=,∴函数的反函数是【归纳总结】：求反函数的一般步骤 一求值域：求原函数的值域二反解：由原方程得 三对换：对换x，y得，并注明定义域 再解例1③④：解：③∵x≥0，∴原函数的值域y≥1.由y=+1解得x=(y-1)2, ∴函数的反函数是x=(y-1)2 (x≥1);④∵x≠1 ∴=2+≠2，解得 。

∴函数的反函数是 教 学 内 容展示例题学生回答尝试归纳注重总结师生同做老师板书规范步骤学生板演师生活动学会求反函数，形成能力规范方法和书写步骤方法从实践中来指导实践特别注意：反函数的定义域是原来函数的值域！故先求值域先求值域掌握分段函数的反函数的求法！分段求得反函数再综合教学意图【解题小结】：共同归纳幻灯显示师生同解引导学生弄清题目类型提出问题强化定义及时总结，形成方法定义域和值域都应由原来的函数确定巩固反函数的理解三．课堂练习 参见学案练习（A）、（B）组[B组供部分同学选作]四．课堂小结1． 反函数定义；2． 反函数与原函数的关系；3． 求反函数的一般步骤五．布置作业 教科书P64 习题 2.41、⑤⑥⑦⑧；2、 4巩固所学使知识系统化，强化要点板书设计ξ2.4 反函数（1）一．反函数的概念1．定义：2．理解： 二．求反函数 1．例题： 2．求反函数步骤：教后记这是笔者参加市教学能手评选的一节公开课，参加听课的的学生基础一般，在课堂提问中，授课人能教好的启发、诱导学生，从错误的思考中过渡到正确的认识上来，具有较高的课堂应变组织与驾御能力，突出体现以学生为主体，老师为主导、思维为主线的教学方法。

课后，该节课被评为参赛18位选手中的最高分，授课人也被评为“市教学能手”十、作业设计ξ2.4.1《反函数的概念及求法》学案【学习要求】：理解反函数的概念，会求简单函数的反函数，掌握互为反函数的三要素的之间的关系重点难点】：重点为反函数的求法；难点为反函数概念的理解互动课堂】：一、 反函数的概念：1． 定义：一般地，设函数的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用 表示出，得到 若对于y在C中的任何一个值，通过 ，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示 ，这样的函数x=(y) ()，叫做函数的反函数，记作 . 习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调 中字母x，y，把它改写成 2． 理解：（1）反函数是函数吗？为什么？ （2）所有的函数都有反函数吗？什么样的两个函数才是反函数？ （3）的反函数是谁？注意符号含义及读法？（4）函数本质上是映射那么在映射观点下，反函数是什么？函 数反函数解析式定义域A值 域C从映射的定义可知，函数是定义域A到值域C的映射，而它的反函数是集合 到集合 的映射，因此，函数的定义域正好是它的反函数的 ；函数的值域是它的反函数的 . （如右表）：（5）反函数定义给出了反函数的求法。

二、求反函数：1． 例题精讲：例1.求下列函数的反函数①②略 ③ ④. 解： 解： 总结归纳：求反函数的步骤： （1）（2）（3）例2．求函数的反函数解：总结归纳：求分段函数的反函数应： .例3．已知函数f（x）=x2-1 （x≤-2），求f -1（4）的值解：思考：若函数y=f（x）存在反函数，且f（a）=b，则f -1（b）=？三．课堂练习： （A）1．函数y=-x2+1（x≤0）的反函数是（ )A． B. C. D. 2.如下图表示的函数中，存在反函数的只能是（ ） A B C D3．函数f（x）=x2（x≥0）的反函数为 .4．函数y=）的反函数是 .（B）1．若函数，则它的反函数是（ ）A．y=x2+2 （x∈R） B. y=x2+2 （x>0）C. y=x2+2 （x≤0） D. y= -x2+2 （x≤0） 2．设函数f（x）=，则f -1（2）=（ ）A． B. C. D.3.已知函数y=f（x）有反函数y=f -1（x），则 .4．已知函数.（1）求反函数 ；（2）试研究该函数与反函数的单调性。

问题研讨】【研究性课题】：《哪些函数的反函数还是它本身？》参考书目：（1）课本P62-63页“互为反函数的函数图象间的关系”;。