等腰三角形人教初二数学上册.ppt

等腰三角形人教初二数学上等腰三角形人教初二数学上册册八年级八年级 上册上册13.3 等腰三角形等腰三角形 点此播放教学视频点此播放教学视频学习目标：学习目标： 1．探索并证明等腰三角形的性质及判定．探索并证明等腰三角形的性质及判定． 　2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等．　3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴 对称在研究几何问题中的作用．对称在研究几何问题中的作用． 学习重点：学习重点： 探索并证明等腰三角形性质与判定．探索并证明等腰三角形性质与判定． 点此播放教学视频点此播放教学视频　　如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并　　如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的剪去阴影部分，再把它展开，得到的△△ABC 有什么特点有什么特点？？探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 ABCD探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 　　仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这　　仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这 个等腰三角形有什么特征吗？个等腰三角形有什么特征吗？ 点此播放教学视频点此播放教学视频　　　　 等腰三角形的特征等腰三角形的特征: :（（1））等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的两个底角相等；（（2））等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 　　　　　　 边上的高互相重合．边上的高互相重合．探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 　　同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各　　同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各异，是否都具有上述所概括的特征？异，是否都具有上述所概括的特征？探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 　　在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，　　在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出 等腰三角形的性质吗？等腰三角形的性质吗？探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 点此播放教学视频点此播放教学视频探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 　　　　 等腰三角形的性质等腰三角形的性质: :（（1））等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的两个底角相等；（（2））等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高互相重合．边上的高互相重合．　　利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三角　　利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三角形的性质形的性质1和性质和性质2．对于性质．对于性质1，你能通过严格的逻辑，你能通过严格的逻辑 推理证明这个结论吗？推理证明这个结论吗？（（1）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？（（2）结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思）结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思 路是什么？路是什么？（（3）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形 呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？ 探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 　　已知：如图，　　已知：如图，△ △ABC 中，中，AB = =AC．求证：．求证：∠∠B = = ∠∠C．．探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 AＢCD　　证明：作底边的中线　　证明：作底边的中线AD．．　　　　∵∵　　AB = =AC，，　　　　 BD = =CD，，　　　　　　 AD = =AD，，　　　　∴∴　　△ △ABD ≌≌△ △ACD（（SSS）．）．　　　　∴∴　　∠∠B =∠=∠C．．　　你还有其他方法证明性质　　你还有其他方法证明性质1吗？吗？探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 　　可以作底边的高线或顶角的角平分线　　可以作底边的高线或顶角的角平分线. . AＢCD　　性质　　性质2可以分解为三个命题，本节课证明可以分解为三个命题，本节课证明““等腰三等腰三 角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线””．．探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 　　已知：如图，　　已知：如图，△△ABC 中，中，AB = =AC，，AD 是底边是底边BC 的中线．求证：的中线．求证：∠∠BAD = =∠∠CAD，，AD⊥⊥BC．．探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 AＢCD　　证明：　　证明：∵∵　　AD 是底边是底边BC 的中线，的中线，　　　　∴∴　　BD = =CD．． ∵∵　　AB = =AC，，　　　　 BD = =CD，，　　　　　　 AD = =AD，，　　　　∴∴　　△△ABD ≌ ≌△△ACD（（SSS）．）．探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 　　已知：如图，　　已知：如图，△△ABC 中，中，AB = =AC，，AD 是底边是底边BC 的中线．求证：的中线．求证：∠∠BAD = =∠∠CAD，，AD⊥⊥BC．．AＢCD　　证明：　　证明：∴∴　　∠∠BAD = =∠∠CAD，， ∠∠ADB = =∠∠ADC．． ∵∵　　∠∠ADB + +∠∠ADC = =180°， ∴∴　　∠∠ADB = =90°．． ∴∴　　AD⊥⊥BC．．探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 　　在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，　　在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，““折折 痕痕”“”“辅助线辅助线””发挥了非常重要的作用，由此，你能发发挥了非常重要的作用，由此，你能发 现等腰三角形具有什么特征？现等腰三角形具有什么特征？ 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．课堂练习课堂练习 　　练习　　练习1　填空：　填空：（（1）如图，）如图，△ △ABC 中中, , AB = =AC, ∠, ∠A = =36°, , 则则∠∠B = = °；；ABC课堂练习课堂练习 　　练习　　练习1　填空：　填空：（（2）如图，）如图，△ △ABC 中中, , AB = =AC, ∠, ∠B = =36°, , 则则∠∠A = = °；； ABC课堂练习课堂练习 　　练习　　练习1　填空：　填空：（（3）已知等腰三角形的一个内角为）已知等腰三角形的一个内角为70°, ,则它的另外两则它的另外两 个内角的度数分别是个内角的度数分别是 . .课堂练习课堂练习 　　练习　　练习2　　如图，如图，△△ABC 是等腰直角三角形（是等腰直角三角形（AB = =AC，，∠∠BAC = =90°），），AD 是底边是底边BC 上的高，标出上的高，标出∠∠B，，∠∠C，，∠∠BAD，，∠∠DAC 的的度数，并写出图中所有相等的度数，并写出图中所有相等的 线段线段. .ABCD课堂练习课堂练习 　　练习　　练习3　如图　如图，△△ABC 中，中，AB = =AC，点，点D 在在AC 上，上， 且且BD = =BC = =AD．求．求△△ABC 各角的度数．各角的度数．ABCD（（1）本节课学习了哪些主要内容？）本节课学习了哪些主要内容？ （（2）我们是怎么探究等腰三角形的性质的？）我们是怎么探究等腰三角形的性质的？（（3）本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的）本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的 方法？方法？课堂小结课堂小结 　　问题　等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命　　问题　等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命 题的题设和结论分别是什么？题的题设和结论分别是什么？　　性质定理的条件是：一个三角形中有两条边相等．　　性质定理的条件是：一个三角形中有两条边相等． 　　结论：这两条边所对的角相等．　　结论：这两条边所对的角相等． 探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理　　作顶角的平分线或底边上的高或底边的中线，将一　　作顶角的平分线或底边上的高或底边的中线，将一个三角形的问题转化为两个全等三角形来证明两个角相等个三角形的问题转化为两个全等三角形来证明两个角相等．． 探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理　　思考　性质定理证明方法是什么？　　思考　性质定理证明方法是什么？ 探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理　　问题　一个三角形满足什么条件是等腰三角形？　　问题　一个三角形满足什么条件是等腰三角形？ 这两个角所对的边相等．　　这两个角所对的边相等．　　 探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理　　思考　　思考1 1　如果一个三角形有两个角相等，那么这两　如果一个三角形有两个角相等，那么这两 个角所对的边有什么关系？个角所对的边有什么关系？　　题设：一个三角形有两个角相等．　　题设：一个三角形有两个角相等． 　　结论：这两个角所对的边相等．　　结论：这两个角所对的边相等． 探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理　　思考　　思考2　这个命题的题设和结论又分别是什么呢？　这个命题的题设和结论又分别是什么呢？ 如何证明这个命题？如何证明这个命题？探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理　　问题　类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能　　问题　类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能 选择一种来证明这个命题吗？选择一种来证明这个命题吗？ 　　证明：过　　证明：过A 点作点作AE⊥⊥BC，垂足为，垂足为E. .　　在　　在△△ABE 和和△△ACE 中，中，ABCE探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理∠∠B = =∠∠C，，∠∠AEB = = ∠∠AEC = = 90°，， AE = = AE，，∴∴ △△ABE ≌△≌△ACE ．． ∴∴ AB = = AC ．．　　追问　你还有其他证明方法吗？　　追问　你还有其他证明方法吗？ 　　 已知：如图，在已知：如图，在△△ABC 中，中，∠∠B =∠=∠C. . 求证：求证：AB = =AC．．不能．　　不能．　　探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理　　思考　能作底边　　思考　能作底边BC 上的中线吗？上的中线吗？ 点此播放教学视频点此播放教学视频　　思考　与等腰三角形性质进　　思考　与等腰三角形性质进 行比较看有什么区别？行比较看有什么区别？探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理　　等腰三角形的判定方法：　　等腰三角形的判定方法： 　　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对　　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等（简写成的边也相等（简写成““等角对等边等角对等边””）．）．ABC符号语言：符号语言：∵∵　在　在△△ABC 中，中，∠∠B =∠=∠C，，∴∴　　AB = =AC．．ABCD共有共有3个等腰三角形．个等腰三角形． （证明略）　　（证明略）　　课堂练习课堂练习　　练习　　练习1 1　如图，　如图，∠∠A = =36°°，，∠∠DBC = =36°°，，∠∠C = =72°°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个 等腰三角形给予证明．等腰三角形给予证明．巩固等腰三角形的判定定理巩固等腰三角形的判定定理　　例　　例1 1　求证：如果三角形一个外角的平分线平行于　求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. . 巩固等腰三角形的判定定理巩固等腰三角形的判定定理　　已知：　　已知：∠∠CAE 是是△ △ABC 的外角，的外角，∠∠1 =∠=∠2，，AD∥ ∥ BC．．　　求证：　　求证：AB = =AC. .ABCDE12巩固等腰三角形的判定定理巩固等腰三角形的判定定理（（1））AB、、AC 在同一个三角形中，在同一个三角形中， 应选择应选择““等角对等边等角对等边””；；（（2））建立三角形的外角和与之不相建立三角形的外角和与之不相 邻的内角关系；邻的内角关系；（（3））利用平行转移已知角；最终使利用平行转移已知角；最终使 得相等的角转化到同一个三角得相等的角转化到同一个三角 形中形中. . 　　追问　要证明　　追问　要证明AB = =AC，应如何选择证明方法？，应如何选择证明方法？ ABCDE12证明：证明：∵∵　　AD∥∥BC ，，∴∴　　∠∠1 =∠=∠B（（ 　　　　 ），）， ∠∠2 =∠=∠C（（ 　　）．　　）．巩固等腰三角形的判定定理巩固等腰三角形的判定定理　　已知：　　已知：∠∠CAE 是是△ △ABC 的外角，的外角，∠∠1 =∠=∠2，，AD∥∥BC．．　　求证：　　求证：AB = =AC. .两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等ABCDE12等边对等角等边对等角巩固等腰三角形的判定定理巩固等腰三角形的判定定理　　已知：　　已知：∠∠CAE 是是△ △ABC 的外角，的外角，∠∠1 =∠=∠2，，AD∥∥BC．．　　求证：　　求证：AB = =AC. .证明：证明：∵∵　　∠∠1 =∠=∠2，∴∴　　∠∠B =∠=∠C．．∴∴　　AB = =AC（（ 　）．　）．ABCDE12DC巩固等腰三角形的判定定理巩固等腰三角形的判定定理　　例　　例2　已知等腰三角形底边长为　已知等腰三角形底边长为a ，，底边上的高的底边上的高的 长为长为h ，求作这个等腰三角形，求作这个等腰三角形. .　　作法：　　作法：（（1）作线段）作线段AB = =a；；（（2）作线段）作线段AB 的垂直平分线的垂直平分线MN，与，与 AB 相交于点相交于点D；；（（3）在）在MN上取一点上取一点C，使，使DC = =h；； （（4）连接）连接AC，，BC，则，则△△ABC 就是所就是所 求作的等腰三角形求作的等腰三角形. .ABMN课堂练习课堂练习 　　 练习练习2　如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？课堂练习课堂练习 　　 练习练习3　求证：如果三角形一条边上的中线等于这求证：如果三角形一条边上的中线等于这 条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．课堂练习课堂练习 　　 练习练习4　如图，如图，AC 和和BD 相交于点相交于点O，且，且AB∥∥DC，，OA = =OB．求证：．求证：OC = =OD．．ABCDO（（1）本节课学习了哪些内容？）本节课学习了哪些内容？（（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？）等腰三角形的判定方法有哪几种？ （（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判 定的区别和联系．定的区别和联系．课堂小结课堂小结点此播放教学视频点此播放教学视频。