超越方程解法.pdf

超越方程超越方程解法解法 超越方程超越方程解法解法 当一元方程(z)=0 的左端函数(z)不是z的多项式时，称之为超越方程这类方程除 极少数情形（如简单的三角方程）外，只能近似地数值求解，此种数值解法的研究至今仍是 计算数学的主要课题超越方程的数值解法也适用于代数方程 数值求解超越方程时首先需要确定解的分布区域， 它可以利用图解法或者根据(z)的解 析性质来确定 当(x)为实函数时， 确定方程实根的分布的最常用方法是应用连续函数的中 值定理：如果实的连续函数(x)在区间【 ,b】的两个端点的值异号,则(x)在此区间内至 少有一个根 二分法二分法 利用中值定理计算实函数实根的简单易行的方法，算法 如下： 设区间【0,b0】满足条件(0)(b0)<0，【0,b0】的二等分点为 计算(x0)的值,若(x0)=0，即为所求解;若(x0)(0)0,取1=x0,b1=b0作为新区间 的端点1,b1】的二分点为计算(x1)的值并重复上述步 骤以确定新的区间 【2,b2】 ， 如此继续下去 则得到区间序列 【k,bk】 (k=0，1,)，它满足（k）（bk）0,牛顿法就收敛。

一般情形，为减弱对初始近似的限制， 可利用牛顿下降算法，其算式为 k0 为迭代参数,由条件(zk+1)1)阶收敛， 即 C0均为常数当(z)=0 时也有加速作用 此算法可以循环使用 斯梯芬森方法 不算微商而二阶收敛的方法，其算式为 它可由迭代算法循环使用 2程序导出 所有的迭代法用于求重根（即(z)=0）时, 其收敛速度将变慢， 收敛阶将降低 为求得达到所需精度的解而花费的代价是评价迭代法优劣的依据， 效能指数是其重要指标，它定义为p 1/寶，p 为收敛阶， 为每步需要 计算的函数值和微商值的总数效能指数越大，说明方法越好二分法 及上述各种迭代法的收敛阶（单根时和重根时）和效能指数如表 超越方程数值解法超越方程数值解法 只有当初始近似与解充分接近时，迭代法才收敛，这是所述算法的 共同特点减弱对初始近似的限制是提高迭代法有效性的重要措施，例 如，牛顿法中引进下降因子对一些特殊函数类（如单调函数，只有实 根的解析函数等）的大范围收敛迭代算法也有一些研究工作 参考书目 A.Ostrowski,Solutions of Equations in Euclidean and Banach Spaces, 3rd ed., Academic Press, New York, 1973. J.F.Traub,Iterative Methods for the Solution of Equations, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1964. 。