量纲分析方法.docx

第一节 量纲分析方法量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法， 也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具利 用这种方法可以从某些条件出发，对某一物理现象进 行推断，可将这个物理现象表示为某些具有量纲的变 量的方程，从而可以用此来分析个物理量之间的关 系量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它 的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等 等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的 “量纲”概括来说，将一个物理导出量用若干个基本 量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量 纲式，简称量纲(dimension)(量纲又称为因次)它是 在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子 在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时 间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲 符号分别是L、M、T、I、Q、N和J按照国家标准(GB3101 —93)，物理量•的量纲记为dim「国际物理学界沿用的习惯记为[.]LT 一 i[a ]二 LT -2实际中，有些物理量的量纲是基本的，成为基本 量纲系统因选定的基本单位不同，而分成绝对系统 与工程系统两大类工程系统的基本单位：质量、长 度、时间、力。

绝对系统的基本单位：质量、长度、 时间绝对系统以长度(length)、质量(mass)、时间(time) 及温度(temperature)为基本量纲，各以符号L、M、T、 e表示其量纲其他可由基本量纲推导出的量纲称为 导出量纲但在工程系统中，除了长度L、质量M、 时间T及温度e等基本量纲外，也将力定义为基本量 纲，而以符号F表示其量纲此外在探讨热量(heat) 时，热量亦被定义为基本量纲，而以 H 表示而其他 的物理量的量纲可以由这些基本量纲来表示，比如： 速度v = ds/dt量纲：[V] 加速度 a = dv/dt 量纲：力 F = ma 量纲：[f] = [m][LT-2] = MLT-2 压强 P = F/S 量纲：[P] = MLT-2L-2 = MT-2L-\实际中，也有些量是无量纲的，比如"'e等，此 时记为k ] = [e] = 1有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段模 型所描述的规律应该独立于量纲的影响机理模型的 深入探讨应该排除量纲的影响，因此机理模型需要无 量纲化使用无量纲量来描述客观规律在量纲表达 式中,其基本量量纲的全部指数均为零的量，即无量纲 量，也称纯数。

1.无量纲量具有数值的特性，它可以 通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量 纲不同的物理量通过乘除组合得到 2.无量纲量具有 这样一些特点：①无量纲数既无量纲又无单位，因此 其数值大小与所选单位无关即无论选择什么单位制 计算，其结果总是相同的当然，同一问题必须用同 一单位制进行计算②对数、指数、三角函数等超越 函数的运算往往都是对无量纲量来讲的③一个力学 方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不 受单位制的限制要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，当 用数学公式描述已物理量时，等号两端就必须保持量 纲的一致性和单位的一致性，即其所遵循的物理方程 式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理 方程和经验公式的正确性和完整性量纲分析就是基 于量纲一致的原则来分析物理量之间关系的一种方 法量纲齐次原则当用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致性，这种性质称为量纲齐次性当 方程中各项具有相同的量纲时，这个方程被称为是量 纲齐次的，也只有具有相同量纲的量才可以作比较或 相加、减，由此可知，物理定律必须是量纲齐次的 根据量纲齐次原理，可以有下面的量纲分析法的基本 定理。

定理( BUCKINGHAM PI )设有 m 个物理量q q L , q 满足某定律：f (q , q , L q ) = 01 2 m 1 2 mX , X ,L , X是基本量纲(n < m). q的量纲可以表示为［q ］二⑴ji=l1 2 n jXaj(j二1,2,L ,m).矩阵A = (a )称为量纲矩阵， i ij n ,m若A的秩ran kA二r,可设线性齐次方程组AY = 0（Y是律维向量），有m-r个基本解为y = (y , y ,L , y )T (k = 1,2, L , m - r). k k1 k 2 km则“ k qjykj为m - r个相互独立的无量纲的量，j=1且有f（兀,兀,l ,兀）=o与f （q1, q2,L , q ） = 0等价，1 2 m - r 1 2 m其中 F 为一未知函数量纲分析的一般步骤（1）将与问题有关的物理量（变量或常量）收集起来，记为q ,q ,L ,q，根据问题的物理意义确定基本12m量纲，记为 X ,X ,L ,X （n < m）.1 2 n(2) 写出 qj 的量纲[q ] = nn Xaj (j = 1,2,L , m).j j ii=1(3) 设q ,q ,L ,q满足关系沢=卍qyj，其中y .为1 2 m j jj=1m待定的，“为无量纲的量，因此k ] = n Xaj=1，于是兀 jj=1ma =丫 a y = 0(i = 1,2,L , n) i ij jj=1(4 )解线性方程组兰ay = 0(i = 1,2,L , n),矩阵 ij jA = (a )称为量纲矩阵，若A的秩rankA二r则线性齐次 ij n ,m A方程组有m - r个基本解为y =(y,y厶y)T(k=l,Z,m_r)・k k1 k2 kmm=n q ykjjj=1(5)记“k无量纲的量.，则兀(k = 1,2,L , m — r)为(6)由F(兀兀,L ,兀)=0解出物理规律.1 2 m 一 r。