好用线性代数教材所有定理.ppt

线性代数课本所有定理,,,,定理1.1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变定理1.2 n级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半定理1.3,(◆),定理1.4 n阶行列式D =|aij|等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,+ …+,+ …+,D =,i =1,2,3,…,n,j =1,2,3,…,n,定理1.5 n阶行列式,某一行(列)的元素与另一行(列),对应元素代数余子式乘积的和等于0,即:,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,定理1.7、克莱姆法则,那么线性方程组(1.9)有唯一解，,其中Dj是把系数行列式D中第j列 的元素用方程组右端的常数项代替 后所得到的n阶行列式，,解可以表为,定理1.8 如果齐次线性方程组(1.13) 的系数行列式,D≠0,则它仅有零解.,(1.13),常用此定理的逆否命题:如线性方程组(1.13)有非零解,则,D=0.,(D≠0 xj=0 j=1,2,,n),(xk ≠ 0 D=0 如果有k, 1≤ k ≤n),定理2.1,n阶方阵A可逆的充要条件为,定理2.2 矩阵A施行一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等方阵左(右)乘A.,定理2.3,经过若干次初等变换,可以化为,◇推论:,定理2.4 n阶矩阵A为可逆的充要条件是它可以表成一些,初等矩阵的乘积.,定理2.5 矩阵经初等变换后,其秩不变.,定理3.1,,定理3.2 Ax=0有非零解,定理3.2推论:当mn 时,齐次线性方程组(3.9)有非零解.,定理3.3 设向量,则:,定理3.4 如果向量组（A）可由向量组（B）线性表示，而向量组（B）可由向量组（C）线性表示，则向量组（A）可由向量组（C）线性表示。

定理3.5 设m维列向量组,其中:,则:,定理3.5的另一个说法: 设m维列向量组,其中:,则:,定理3.5的另一种叙述: 设m维行向量组,其中:,则:,定理3.5推论1:设n个n维向量,则:,定理3.5推论2:当向量组中所含向量的个数大于向量的,维数时,此向量组线性相关.,小结:,对于m维向量组,(1)向量个数n向量维数m (A扁),则向量组必线性相关.,(2)向量个数n=向量维数m (A方),(3)向量个数n向量维数m (A长),(由定理3.5来判断),定理3.6 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性,相关,则整个向量组线性相关.,要条件是:其中至少有一个向量是其余s-1个向量的线性,组合.,线性无关.则向量 可由向量组,线性表示且表示法唯一.,定理3.9 设有两个向量组:,为(A),为(B),向量组(B)可由向量组(A)线性表示,如果,或说:长向量组可由短向量组线性表示,,则长的向量组必线性相关.,则向量组(B)线性相关.,定理3.10,它是极大无关组,定理3.11,对于任一矩阵A,,定理3.12 等价向量组的秩相等.,定理3.13 如果齐次线性方程组(3.9)的系数矩阵A的,秩r(A)=rn，则方程组的基础解系存在,且每个基础,解系中,恰含有n-r个解.,定理3.14 非齐通解=非齐特解+齐通解.,定理4.1 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.,定理4.2(公式版) 设A=(aij)是n阶矩阵,如果,有一个成立,定理4.3,定理4.4,(其中可能有重根、复根），则,即：,定理4.5 若n阶矩阵 A与B相似,则A与B的特征多项式相同, 从而A与B的特征值相同.,定理4.5推论 若n阶方阵A与对角阵,定理4.6 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.,(1)如果n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量,x1,x2,….,xn ,,x1,x2,….,xn排成的矩阵就是把A变成对角,阵Λ的变换矩阵P,相应的对角阵Λ的主对角线元素,就是A的特征值.,(x1,x2,….,xn ),=P,,定理4.6推论1:,定理4.7 n阶矩阵A可对角化的充要条件为,对于每个特征值a, r(A-aI)=A的阶数- a的重数.,定理4.6推论2 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等, 则A与对角阵相似.,(由定理4.3及定理4.5),推论: n阶矩阵A可对角化的充要条件为对于每个,特征值a, (A-aI)x=0的基础解系的解数= a的重数.,定理4.9,定理4.10 设Q为n阶实矩阵,则:,定理4.11 对称矩阵的特征值为实数.,定理4.12 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征,向量是正交的.,定理4.13,定理5.1 任何一个二次型都可以通过非退化线性替换,化为标准型.,定理5.2 对任意一个对称矩阵A，存在一个非奇异矩阵,C，使CTAC为对角形。

即任一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同定理5.3 对于二次型xTAx,必存在正交阵Q,使:,1.任何实二次型f=xTAx都可以经过非退化替换x=Cy化为规范形；,定理5.4,2.规范形是由二次型唯一决定的(不计顺序)；与所作的非退化线性替换无关,定理5.4的另一个说法:,任一对称阵A,或者说:存在 ,使,定理5.4推论: 任何合同的对称矩阵,具有相同的规范形,定理5.5,A为任意对称矩阵,如果,,则:p=q,即:合同的对称矩阵具有相同的正惯性指标和秩.,定理5.6 设A为正定矩阵,如果 ,则B也是正定矩阵.,定理5.7 对角阵 为正定矩阵,定理5.8 矩阵A为正定阵,定理5.9 矩阵A为正定阵,定理5.10 对称阵A为正定阵,THANKS,,,,。