2009河西学院数学建模1.doc

1牧羊问题摘要 最大收益数与最大牲畜养殖数目，在现代生态农业中已成为一个热点问题，为解决此问题，常用动态规划的方法，即遍历整个状态空间在一定的约束条件下，我们就可以得到，从已知最优值的初始状态和边界状态出发，利用最优化原理，一步一步向未知目标状态推进，直到目标状态的最优值因此，为了解决牧羊人的问题，我们提出了动态规划模型，最优决策模型，生育模型，动态规划模型中应用递推的方法由初始状态和子策略解决牧场养殖羊的总数目的多少的问题，最优决策模型以其最优性定理和最优子策略来计算夏天的储草量的值，生育模型引入出生率和死亡率等概念，由连续的积分模型加以离散化，计算羊群留取种羊的比例关键词 生长量 食草量 动态规划 最优决策21 问题的重述某牧羊人拥有一牧场,他希望得到如下问题的答案：他的牧场应放养的羊的总数，夏天储存的草备用于冬天作饲料，每年羊羔中留下作为母羊的比例为多少?因此，为了维持牧羊人的草场的一个最大收益，我们需要解决以下问题：在一定面积的牧场上，要估计该羊群的年龄结构，和羊羔的存活率等的问题，建立了动态规化模型，最优决策模型，由于夏天长草率比较高，所以牧羊人必须储存一部分草用于冬季当饲料，然而母羊只留养至 5 岁，这样就会影响到羊群的性别比例和羊群总数，进而会影响到草的生长，忽略自然因素导致的羊的死亡，适当地考虑人为因素的宰杀。

因此我们在解决此问题的过程中运用了导数，积分，微分方程，线性方程的矩阵解法等相关数学知识，进而对数据结果进行假设检验，从而使解决问题2模型分析与条件假设2.1 模型分析从效益的角度出发，这位牧民应该尽可能多地养羊因此，我们不妨考虑：该牧民按最大环境容量养羊，因此作如下定义和声明：1 草的日生长量为每平方米日增长量；2 种羊可以忽略不计，即留下的全部为母羊和羊羔；3 不考虑突发性灾难和疾病导致羊的死亡；4 秋季宰羊，留下的一岁母羊羔看作一岁成羊；5 由于 5 岁以上的母羊经济价值小，故不考虑饲养 5 岁以上的母羊；6 考虑公羊与母羊的实际价值，应该尽可能的多饲养母羊，本模型考虑仅养母羊的情况；2.2 条件假设a) 该牧民按最大环境容量养羊，饲养量为 ，设第 次观察的羊的饲养Nn量的值记为 （按羊宰杀后的数量统计）；nSb) 多出的羊每年一次性宰杀，宰杀是连续的稳定的，因为羊羔的经济价值较小，所以应该较少饲养羊羔,设羊羔的宰杀率为 T3c) 设 岁的羊的生育率和存活率分别为 G 和 Hid) 假设草的生长率每个季节是相同的e) 公母羊出生性别比例为 1:1f) 每个季节按 90 天计算g) 设 x 土地分为 y,z 两部分,y 用于放牧，z 用于蓄草(作冬饲料)，2m2m2则 y+z=x。

3 符号说明参数 名称N 饲养量i 年龄T 宰杀率G 生育率H 存活率1S初始量a羊的价值t 时间Q 储草量R 每年留下的羊羔数4 模型建立与求解4.1 模型建立4.1.1 建立最大羊群数量模型设已知羊群的初始数量 ,并假定最优值函数 是以 为初始状态1s()ksf4的函数，从第 阶段到第 阶段所得到的最大效益kn首先从第 阶段开始，对任意输入参数 ，则此阶段的最大效益为ns,maxnn nDfsv这里 是由状态 所确定的第 阶段的允许决策集合解此一维极值问()nDs题，得到最优值 及最优解 , 它就是当第 阶段的初始状nf()ns态为 时的最优决策n然后，进入第 阶段，则最大效益为1,111maxnnnnnsDfvsfs其中 解此一维极值问题，得到最优解 ，1,nT 11nnx这就是当第 n-1 阶段的输入为 时的最优决策1n如此类推，直到第一阶段，得到最大效益为 1112,axsDffvs其中 ，解之,得到最优解 12,sT11在上述递推过程中，我们逐步求出了极值函数 , ,…, nf1nf及相应的决策函数 , ,…, 。

由于初始状态 s11fnxs1n1xs是已知的，按照上述递推过程相反的顺序推算，就可逐步确定出每一阶段的决策与效益综上所述，整个过程包括两个步骤，前一步骤称为“迭代”或“递推” ，后一步骤称为“回代” 根据题意得： 设只数为 的羊群，其中年龄等级 ,is0,12345i①羊可以屠宰或者卖到市场上每只羊的价值为 ；a②羊可以继续饲养，其中年龄等级 的羊的只数 ，生出 只小羊羔，iisiSb5假设 是年龄等级 继续生存到年龄为 的羊的只数 ,如iCSi1i10ic果最初羊群有年龄等级为 ，只数为 , 确定，在 年范围内得iS2,.nN到总收益最大的饲养量的市场策略为 0niiax4.1.2 运用最优策略建立储草量模型最优性定理 设阶段数为 的多阶段决策过程，其阶段编号为允许策略是 是最优策略0,12.kn**0,11(,)nnP的充要条件是对任意一个 和初始状态 ，有()k0sS其中， , ,它是由初始状态 和子策略0,10,1,()nknP11,~kksxT0s所确定的 阶段状态， 是状态转移方程kp()k4.1.3 羊群预测因素：生育模式为了进行发展发展过程的预测就必须进行运算，为了便于应运计算机模拟计算，有必要建立离散性的模型。

我们可以将连续性模型加以离散化，即将年龄r和时间 都取整数（以年为单位）t易见1()(,)iiixtprtd(0,1.)im各个年龄的羊群构成 01()(),,.()mxttxtst,( ,1()0,,,,,,1s kknppVsototVP:6在 时刻，年龄在 区间的羊群总数t:[,]rttr:(,)(,)(,)(,)PrtPttPrtt:rrr:::令 ，并将上式两边对 从i到 积分，得1tr111()()(,),ii iixtxtrtptdr等式右边定积分中的 是r的增函数，应用中值定理可得,t1 1(,)(,)(,)(,)i iii irtptdtprtd  iitx其中 ， 在 上[,1]irt(),)itr[,1]riinf(,)sup(,)ittt故得1()()()i i iixtxttx0,.im如果考虑不确定因素对羊群发展过程的扰动我们只需用表示在区间 [r, ]内和时段[t, ]内羊群总数的改变量，(,)frtt:r:t:用同样的方法将 离散化：(,)fr。

1(),iiiftftd(0,1.)im这样，羊群发展过程可用离散化的差分方程组1()()()()i iiiixtxttxft0,.1;0,2.m71()()(()i iiixttxft(0,.;0,12.mt初始条件和边界条件也可以离散化：100(0)()ii iixprdx (0,1.)im边界条件（单位时间内羊羔总数），应用中值定理： 210()()(,)(,)rttkthrptdr2210()(,)(,)rirttt2 10()(,)(,)iirtkthrprtd21()()iiirttxt其中 ， ， [,]ir(),)iiktrt0()iihr在 上inf(,)()sup(,)ikrtktkrt00ihh记 表示 时段内羊羔总数 是t年代年龄为 岁的母性()ttt ()iki比例函数，而 是t年代年龄为i岁的母羊在 时间内平均每位母羊所后i 的羊羔数，若取 （年），则得121()()()riiirtthktxt称为生育模式，将 规格化，即令 满足ihi i821riirh这时对应的 即为t年代育龄母羊的生育比率。

从 的规格化，易见 是() ihih岁母羊生育的加权因子制订生育政策就是确定 和 i ()ti是 年代一年出生的羊羔数用 表示能够存活到t年代统计时间的()t0()x羊羔因此， 表示在t年代统计时间前死亡的羊羔数考虑到羊羔数0()tx死亡率比其它年龄的羊羔数死亡率高，故引进() 0[()()]/()Htxtt1表示羊羔死亡率0()()xtt将上述从差分方程组至上式之间的一些关系联系起来，得2()10()()()()0,2.1rtiiiiiiiikthxttxftm这是有扰动的非自然环境中的羊群发展过程离散性模型其向量形式为：()1ist()it(1,.)im(),.,mXtxl0)(,.()ftftft0()()i ibtthk12.,ir922100()()()0()0mstAtstst        上式中的 至 可写成1()xt(1)mt()()()XAXttBXtft其中 称为状态转移阵， 称为生育阵这是有扰动的羊群发展过程()At ()离散性模型的向量形式。

控制量是 和 其中 tih12,.,irr如果要对羊群发展过程进行预测，则只需给定 、 、 、 、(0)Xiktih()it以及就可以应用计算机进行运行、预测对于不同的 ，将有不同的发()t 展过程根据有关统计数据，生育模式 可以相当准确地应用统计学中的 分0()hr 2x布密度曲线来表达2 2120()exp()/()(,)()n nrrhrt  1r这个函数在 处取极大值， 称为峰值育龄01rn0r根据上述模型的算法和表格中的数据推测未来羊群的总数将略微的有所波1 2()000()0000rrmbtbBt                   10动4.2 模型求解4.2.1 最大羊群数量预测把函数 定义为从第 年开,0121,,,.nnkfss,2.nk始，具有年龄等级 的羊的数目为 的最优饲养量和市场策略过3.iis程的收益，设 为在第 年等级为 的羊屠宰数目和卖到市场ix0,34,5i上的只数，然后，从这些分配中，牧羊人得到收益为： 0niiax那么，第 年(即下一年)，新增羊的只数的组合为如下表所示：1k在第 k 年新增羊群的组合，i各年龄段的羊群0 0niiibsx1 0c2 11… …1n22nncsx11ncs故有 ,,012.nkfs,. ,011,, ,. 1maxinii nnif kxcsxxb        显然最后一年 ，我们卖出所有的羊并且得到收益为:kN110niias于是， ,01, 0.nniiNf在这里我们可以用递推方程得到 ,而且我们要求的12,.nfss最大收益，要用寻找最优决策序列的方法可以确定饲养策略。

对于此模型求解应该用递推法，也就是计算机术语中的动态规划的方法给定初始的母羊个数，递推年龄为 0-5 的羊的个数，故 , , , ,01*.82*.43*2.04*1.8ffff,,2f,3,4f,5依次下一年直接递推，得到的收益递推函数为 ()1)(,5)*igxfxa类似地可以递推出每年需要的草的总量(与初始羊的数量有关)由公式 50()iNf计算得 牧场应放养的羊总数目为 N 只羊4.2.2 储草量预测12记 为每年平均留下的羊羔数，根据题目中表格的数据，每年出生的羊羔R数为： (1.824.018)R冬季保留的羊的数目为:5R,每 年产草量为:2m6(374)901.2kg4.2.3 羊羔比例预测根据每个季节的产草量与上个季节。