三角函数经典例题.doc

经典例题透析冷：类型一：锐角三角函数本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减性和特殊角三角函数值，都是中考中的热点.明确直角三角形中正弦、余弦、正切的意义，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是基础，通过计算器计算知道正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小.1.在RtAABC中，ZACB=90°,CD丄AB于点D，已知，BC=2,那么()A.B.C.D.思路点拨：由于ZABC在Rt^ABC和Rt^BCD中，又已知AC和BC，故只要求出AB或CD即可.，先用勾股定理求解析：解法1：利用三角形面积公式出解法2：直接利用勾股定理求出，在Rt^ABC中，.答案：A总结升华：求直角三角形中某一锐角三角函数值，利用定义，求出对应两边的比即可.2•计算：(1);(2)锐角A满足，则ZA=.答案：(1)；(2)75°.解析：(1)把角转化为值.(2)把值转化为角即可.(2)由2附(月-)=卩，得，・•・.・•・A=75°.总结升华：已知角的三角函数，应先求出其值，把角的关系转化为数的关系，再按要求进行运算.已知一个三角函数值求角，先看看哪一个角的三角函数值为此值，在锐角范围内一个角只对应着一个函数值，从而求出此角.3.已知为锐角，，求思路点拨：作一直角三角形，使为其一锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾股定理，表示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用求出，再利用，使可求出.解析：解法1：如图所示，RtAABC中，ZC=90°,ZB=，由，可设，贝y，解法2：由，得总结升华：知道一锐角三角函数值，构造满足条件的直角三角形，根据比的性质用一不为0的数表示其两边，再根据勾股定理求出第三边，然后用定义求出要求的三角函数值.或利用，来求.类型二：解直角三角形怯i解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形的边角关系的知识是解直角三角形的基础.解直角三角形时，注意三角函数的选择使用，避免计算麻烦，化非直角三角形为直角三角形问题是中考的热点.4.已知：如图所示，在厶ABC中，ZC=90°,点D在BC上,BD=4,AD=BC,求：（1）DC的长；（2）sinB的值.思路点拨：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在RtAACD和Rt^ABC中求得，由AD=BC，图中CD=BC-BD，因此可列方程求出CD.解析：（1）设，在Rt^ACD中，，•・•AD=BC,・•・.又，•:，解得.••（2）BC=BD+CD=4+6=10=AD.在Rt^ACD中，在Rt^ABC中，•••总结升华：借助三角函数值，设出其中两边，根据已知条件，列出方程，求出解，再求出其要求的问题.举一反三【变式1】如图所示，在梯形ABCD中，AD〃BC,CA平分ZBCD,DE〃AC,交BC的延长线于点E,(1)求证：AB=DC；⑵若，，求边BC的长.思路点拨：要证AB=DC，只需证明ABC=BCD.由AC〃DE,AD〃BC，可得四边形ADEC为平行四边形，所以ZE=ZDAC.由CA平分ZBCD,可得ZBCD=2ZBCA=2ZE,所以ZB=ZBCD，问题得证，由(1)可知AD=CD=，过点A作AF丄BC,在RtAABF,可求得BF=1,所以解析：(1)证明：JDE〃AC,・•・ZBCA=ZE.•・•CA平分ZBCD,.*・ZBCD=2ZBCA,・•・ZBCD=2ZE.又•・•ZB=2ZE,・•・ZB=ZBCD.・•・梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC.(2)解：如图所示，作AF丄BC,DG丄BC,垂足分别为F、G,则AF〃DG.在Rt^AFB中，JtanB=2,・・AF=2BF.又•・•，且，・•・，得BF=1.同理可知，在RtADGC中，CG=1.JAD〃BC,・•・ZDAC=ZACB.又JZACB=ZACD,・•・ZDAC=ZACD..:AD=DC.JAD〃BC,AF〃DG,・四边形AFGD是平行四边形.・•・，.:BC=BF+FG+GC=.【变式2】已知：如图所示，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E,满足ZABE=ZCBP,BE=BP.(1) 求证：△CPB9AAEB；(2) 求证：PB丄BE；(3) PA：PB=1：2,ZAPB=135°，求cosZPAE的值.思路点拨：(1)在ACPB和AAEB中，ZPBC=ZABE,BP=BE,要证△CPBC^AAEB,只要BC=AB即可，而四边形ABCD恰好是正方形，所以得证.(2)只要证ZPBE=90°,而ZABC=90°，即证出.(3)要求cosZPAE的值，需判断ZPAE所在的三角形是否是直角三角形，因此需连结PE，借助(1)(2),求出ZPBE=，而ZAPB=135°，因此ZAPE=90°.解析：(1) 证明：J四边形ABCD是正方形，・•・BC=AB.•・•ZCBP=ZABE,BP=BE,・•・△CPB^^AEB.(2) 证明：JZCBP=ZABE,・•・ZPBE=ZABE+ZABP=ZCBP+ZABP=90°,・•・BP丄BE.(3) 解：连结PE,JBE=BP,ZPBE=90°,・•・ZBPE=45°.设AP=k，贝9BP=BE=2k,JZBPA=135°,ZBPE=45°,・•・ZAPE=90°,在RtAAPE中，类型三：利用三角函数解决实际问题直角三角形应用非常广泛，是中考的重要内容之一.近年来，各地中考试题为体现新课标理念，设计了许多面目新颖、创意丰富的新型考题.运用解直角三角形的知识解决与生活、生产相关的应用题是近几年中考的热点.虽然解直角三角的应用题题型千变万化，但设法寻找或构造出可解的直角三角形是解题的关键.5. 如图所示，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB,当太阳光与水平线成50°角时，测得该树在斜坡的树影BC的长为7m,求树高.(精确到0.1m)思路点拨：树所在直线垂直于地面，因此需延长AB交水平线于一点D,则AD丄CD,在RtABCD中，BC=7m,ZBCD=15°,所以求出CD、BD.而在Rt^ACD中，ZACD=50°,利用求出AD,所以AB=AD-BD即可求出.解析：如图，过点C作水平线与AB延长线交于点D,则AD丄CD.•・•ZBCD=15°,ZACD=50°,在Rt^CDB中，CD=7cos15°,BD=7sin15°.在Rt^CDA中，答：树高约为6.2m.总结升华：解这类问题一般构造直角三角形，借助角与边的关系，求得未知边，再解另一个直角三角形得到问题答案.举一反三【变式1】高为12.6米的教学楼ED前有一棵大树AB(如图所示).(1) 某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2.4米,DF=7.2米,求大树AB的高度.(2) 用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：①在下图中，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标在图上(长度用字母m、n表示，角度用希腊字母…表示);②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB的高度(用字母表示).思路点拨：本题主要考查解直角三角形的有关知识，并且让学生根据所提供的信息设计测量方案.解析：连结AC、EF(图略).(l)T太阳光线是平行线,・•・AC〃EF,・•・ZACB=ZEFD.•・•ZABC=ZEDF=90°,・•・△ABCs^EDF.・•・AB=4.2.答：大树AB的高是4.2米.(2)如图所示，MG=BN=m,米.总结升华:本题将解直角三角形的相关知识与测量方案设计结合在一起，联系生活实际,让学生自己设计测量方案，得出结果，培养动手实践操作能力.同时，引导学生结合生活实际建立数学模型,促使大家进一步认识数学就在身边，会用数学知识解决现实生活中的问题.【变式2】2008年6月以来某省普降大雨，时有山体滑坡灾害发生.北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，AF〃BC,斜坡AB长30米，坡角ZABC=65°.为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡.（1）求坡顶与地面的距离AD等于多少米?（精确到0.1米）（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米?（精确到0.1米）解析：（1）在Rt△ADB中，AB=30m,ZABD=65°,AD27.2（米）.所以AD=AB・sinZABD=30Xsin65°〜答：AD等于27.2米.（2）在RtAADB中，，所以DB=AB・cosZABD=30Xcos65°~12.7（米）.连结BE，过E作EN丄BC于N,因为AE〃BC,所以四边形AEND为矩形，则NE=AD~27.2.在Rt^ENB中，由已知ZEBNW45。

当ZEBN=45时，BN=EN=27.2.所以AE=ND=BN-BD=14.5（米）.答：AE至少是14.5米.类型四：锐角三角形函数与斜三角形6. 数学活动课上，小敏、小颖分别画出了AABC和厶DEF，数据如图所示，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，那么（）A.B.C.D.不能确定解析：此两图一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形，因此解决此问题,关键作高构造直角三角形，如图所示，sinB=作AG丄BC于G,DH丄EF于H，在Rt△ABG中，由AG~AB在RtADHE中，ZDEH=180°-130°=50°,・：从而也求得・•・•答案：C总结升华:解斜三角形时往往作高把斜三角形转化为直角三角形，利用直角三角形边边、边角、角角关系求出问题答案.举一反三【变式1】已知如图所示，(1) 当厶ABC为锐角三角形时，AB为最长边，三边分别为a、b、c，①试判断与的大小关系.②用a、b、c,表示出cosB.(2) 当厶ABC为钝角三角形时，ZC为钝角，①判断与的大小关系？②用a、b、c表示cosB.思路点拨：解此类问题需作高线构造直角三角形，通过观察发现构造的两直角三角形有一条公共边，借助它列方程，设CD=x，贝恠图(1)中，图(2)中，则图(1)方程为•图(2)方程为，先求出，再进一步求#⑵##解析:⑴①如图(1)，过点A作AD丄BC于点D,设,则在Rt^ACD和Rt^ABD中，有,解得.而，••••，•••②在RtAABD中，(2)①如图(2),同样过A点作AD丄BC，垂足为D，设，则在Rt^ACD和Rt^ABD中，，••，解得而，②此时在Rt^ABD中,#。