牛顿的二项式.docx

牛顿的独特天赋就是能够在脑中一直记住一个智力题，直至解出它——Keynes牛顿在大学时自学了一些数学名著，包括欧几里德的《几何原本》、笛卡尔 的《几何学》、沃利斯的《无穷算术》以及韦达和开普勒的著作这些书都非常 深奥难懂，即使是在这些书中的大部分内容已广为人知的今天在那个只有少数 人懂数学的时代，知晓这些著作的人少之又少就我们知道的，牛顿自学这些著 作时没有任何外界帮助，朋友中几乎也无人可以分享他的思想这为他后来成为 一位隐士般的天才创造了条件，他几乎不需要外界的灵感就能完成伟大的发现1665年，这一年牛顿23 岁，当时瘟疫流行，学校不得不停课对于大部分同学而言，这意味着学业的中断，甚至可能毁坏他们未来的职业生涯，但对于牛 顿正好相反在家中的两年，他的思想自由驰骋，而他的宇宙观也在此期间逐渐 形成牛顿在数学上的第一个重要发现与无穷级数有关很早，人们就知道｛日丨b)"的展开式中各项的系数构成了 “帕斯卡三角形”，对于，n为1、2、3、4、5......正整数的情况，展开式为：1a + bo' + 2 a b + 沪w3 + 3 h + 3 + Z?3+ 4 j b + 6 / + 4 a 沪 +a'十5 / b十10 o'沪十10 /沪十5 a +沪a6 + 6a5 + 15 / 手 + 20 /沪 + 15 a2 fe4 + 6ab5 + ft6牛顿首先将帕斯卡三角形改写成“阶梯”的形式，匕】+ yr展开后各项系数为：n=0 :10000000n=1 :11000000n=2 :12100000n=3 :13310000n=4 :14641000n=5 :1510105100n=6 :16152015610牛顿发现了其中的规律：将每一行中的第i项与第i-1项相加即可得到下一行中的第i项。

路径为：为解决n为负数的情况，牛顿反其道而行之，即：将某行的第i项减去上一 行的第i-1项可得上一行第i项的的值路径为％T因为每行的第一项都是1,这样就得到了负整数的展开：n=-4 :1-410-2035-5684-120n=-3 :1-36-1015-2128-36n=-2 :1-23-45-67-8n=-1 : 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1n=010000000n=111000000n=212100000n=313310000n=414641000可以看出，反向扩展的结果是：n为负数时，展开有无穷多项接下来，牛顿考虑 n 为分数的情况牛顿仔细研究了其中数字的形式，直到 可以读懂字里行间的意思牛顿发现了其中规律：上面“阶梯”的第一列是： 1/（幷 一 1）卫‘（用 一 1） ‘ （刑 一 2）」（农 一 3）234第二列是： n第三列是：第五列是：以此类推牛顿大胆设想，当n为分数时仍然遵循这个规律于是，他插入n二］的行，计算出各项的系数为：1，1/2，-1/8，1/16，-5/128，7/256 ......令a = 1， b=x,于是得到了 J I + ‘Y的展开式：1 十右"+ 世、十丘 V牛顿并没有证明他得到的n为负数和分数时的展开式，他只是验证了一下。

他将J I |工的展开式相乘（取前面有限的几项近似表示），令他欣慰的是， 最终结果就是I —卫（由于上面取的近似，仅差一个很小的项）但是，牛顿 没有考虑收敛性，因为当时还没有收敛和极限的概念，但他意识到一点：要保证展开式正确，x必须足够小后来，牛顿将他的推广二项式展开表示为：m其中，A表示第一项，即厂"，B表示第二项，以此类推牛顿在1665年得到了这一公式同年，他用自己发明的公式对［1 +进行展开，并令II — % ，得到了°的一个著名公式:利用二项式展开这一重要工具，牛顿随后发明了微积分。