数学北师大版必修1精品学案：3.3.1《指数函数的概念》.doc

3.1 指数函数的概念指数函数是数学中重要的函数应用到值 e 上的这个函数写为 exp(x)还可以等价的写为 e，这里的 e 是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数 　　指数函数对于 x 的负数值非常平坦，对于 x 的正数值迅速攀升，在 x 等于 0 的时候等于 1在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna即由导数知识：d（a^x）/dx=a^x*ln(a) 　　作为实数变量 x 的函数，y=ex 的图像总是正的(在 x 轴之上)并递增(从左向右看)它永不触及 x 轴，尽管它可以任意程度的靠近它(所以，x 轴是这个图像的水平渐近线它的反函数是自然对数 ln(x)，它定义在所有正数 x 上 　　有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如 kax 的 指数函数函数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正实数本文最初集中于带有底数为欧拉数 e 的指数函数 　　指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得 　　如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

　　在函数y=a^x中可以看到： 　　（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑， 　　同时a等于0函数无意义一般也不考虑 　　（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合 　　（3） 函数图形都是下凸的 　　（4） a大于1时，则指数函数单调递增；若a小于1大于0，则为单调递减的 　　（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过 指数函数程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置 　　（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交 　　（7） 函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b) 　　（8） 显然指数函数无界 　　（9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 　　（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性 　　（11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。

编辑本段指数函数求导公式的推导　　e的定义：e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828...设a>0,a!=1----(log a(x))'=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))=lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))=1/x*log a(e)特殊地，当a=e时，(log a(x))'=(ln x)'=1/x设y=a^x两边取对数ln y=xln a两边对求x导y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x 编辑本段底数与指数函数图像：　　 指数函数（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大 　　（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

　　（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”如右图）》 编辑本段幂的大小比较：　　比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小 　　比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意： 　　（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断 　　例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1. 　　（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可 指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断 　　例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1. 　　（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。

如： 　　<1> 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可 　　<2> 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0）时，a^x大于1，异向时a^x小于1. 　　〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由. 　　⑴y=4^x 　　因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数； 　　⑵y=(1/4)^x 　　因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数 编辑本段定义域：实数集　　指代一切实数（-∞，+∞），就是R 编辑本段值域：（0，+∞）　　对于一切指数函数y=a^x来讲他的a满足a>0且a≠1，即说明y>0所以值域为（0,+∞) 编辑本段分式化简的方法与技巧　　（1）把分子、分母分解因式，可约分的先约分 　　（2）利用公式的基本性质，化繁分式为简分式，化异分母为同分母 　　（3）把其中适当的几个分式先化简，重点突破. 指数函数（4）可考虑整体思想，用换元法使分式简化。