分数阶控制理论研究doc.docx

分数阶控制理论研究摘 要进入21世纪以来，随着分数阶微积分理论研究不断取得突破，控制领域中的新的研究热点就是对其进行理论研究，分数阶微积分是整数阶微积分的推广，将微积分阶次从我们熟知的整数域推广到实数域，甚至复数域其理论基础是分数阶微积分算子及方程，这是一个新的研究方向大量的实践已经证明, 在控制理论中应用分数阶微积分，相比整数阶微积分，具有更好的效果在扩展控制理论的经典研究方法方面，在解释现有结果方面，分数阶微积分都为之提供了非常强劲的支持论文阐述了分数阶微积分的基本理论，从其定义、导数定义以及性质进行了分析了详细说明接下来分析了微积分控制理论在实际中的应用，针对分数阶PID进行了研究讨论，在前人研究基础上，对于分数阶PID自整定算法进行了研究分析，最后在matlab里进行仿真讨论关键词：分数阶，分数系统，分数阶PID AbstractSince the begging of the 21st century, the fractional order calculus theory has achieved lots of breakthough.Fractional calculus is the calculus whose integration or differentiation order isnot conventional integer number but real or even complex one. It is extensition ofinteger calculus. Farctional order control, which is established on the idea offractional order operators and the theory of fractional order dieffrential equations,is now a quite new research direction. Practice has proved that better results couldbe obtained by introduction of fractional calculus in control theory. Fractionalcalculus provides a powerful support for the expansion of the classic researchmethods in control theory and a better explaination of the current results.This Paper expounds the basic theory of fractional order calculus, from the definition and nature of its definition, derivative is analyzed in detail. Then analyzed the control theory of calculus in the actual application, in view of the fractional order PID with the research and discussion on the basis of previous studies, the fractional order PID self-tuning algorithm are analyzed, and finally in the matlab simulation is discussed.Key Words: fractional-order, fractional system, fractional order PID目 录第一章 绪论 3引言 3研究背景与现状 4第二章 分数阶微积分基本理论 6分数阶微积分的定义 62.2.1 Gamma 函数 62.2.2 Mittag-Leffler 函数 62.2.3 Grnwald-Letnikov定义 72.2.4 Riemann-Liouville 定义 72.2.5 Caputo 定义 8分数阶导数定义的三种变形 82.2.1 Riemann-Liouville分数阶导数 82.2.2 Grunwald-Liouville分数阶导数 92.2.3 Caputo分数阶导数 9常见分数阶微积分 9分数阶微分的性质 11分数阶微分的常用运算 11分数阶微分的复合运算 11分数阶导数的积分变换 12第三章 分数阶控制理论概述 14分数阶PID控制器概述 14分数阶PID控制器的整定方法概述 15第四章 分数阶PID自整定算法 174.1 控制器自整定算法 174.2 整定方程 184.3 FOPI控制器自整定算法研究 184.4 FO[PI]控制器自整定算法研究 21第五章 分数阶控制系统仿真分析 255.1 高阶模型 255.2 带积分的被控对象 285.3 带延对象 31第六章 总结 35致谢 . 36参考文献 37第一章 绪论引言分数阶微积分展现了微积分环节逐渐变化的一个过程，它是常规的整数阶微积分的一个推广，从这一点上来讲，整数阶微积分可以理解为我们把分数阶微积分的微分或积分设为整数的时候的一种特殊例子[1]。

分数阶微积分从其建立之初到发展至今经过了有300多年，可以说它同整数阶微积分有着一样的长久发展历程[2]在早期的研究中，研究方向主要偏向于理论上的研究，想要离散化地数字实现分数阶微积分环节是比较困难的，这是早期落后的计算机水平所造成的在现代社会，在计算机的软硬件以及智能水平迅猛发展的基础上，分数阶微积分理论应用到越来越多的领域上，分数阶控制理论成为了自动控制领域里的一个新的分支应用分数微积分的领域非常多，在材料学、力学、地震分析、机器人、控制器设计、概率学等领域都有其应用之处[3-5]数学家在研究理论的过程中，各自根据他们自己的想法理解，针对怎样来具体定义分数阶微积分算法，他们给出了几个不同定义，常见的有Riemann-Liouville定义，Grunwald-Letnioov定义，以及Caputo定义，对于分数阶微积分怎样进行积分变换也进行了相关研究，比如Laplace变换，Fourier变换等，数学家们针对其在时域中的性质也进行了研究，比如冲激响应、阶跃响应，对于其在在频域中的性质进行了细致的观察，比如如幅频特性、相频特性等对其近似计算方法的研究，主要有连续有理近似法、离散近似法yo-i3j，近似展开方面，主要有MacLaurin展开、连分式((CFE)展开[4-7]。

除此之外分数阶微分方程怎样进行求解，到目前为止仍然是科学家们研究的主攻方向，目前主要的方法有解析法、数值法，解析法大部分用来理论证明分数阶微积分的一些方面，相比较而言在实际的应用中，数值法更为广泛[8-10]近年来，分数阶微积分取得了大量研究成果，这为其在各个领域中更好发展提供了坚实的理论基础社会发展的同时工业也在迅猛发展，在工业控制过程中，数学模型应该怎样精确建立变得愈发重要，旧的的控制理论或者别的数学建模方法还是侧重于在怎样建立集中参数系统，比如我们可以使用比例系数，用它来表示一个电阻[11]但是在我们无法用几种参数来表示一个电阻的时候，通过使用偏微分方程，它是用来精确描述分布参数系统的，可以应用在控制系统中难以精确描述的一些模型，比如描述一些在远距离传输线模型、电热炉模型等由于分数接微积分的一些性质，将分数阶微积分算子引入模型描述中，就可以在仿真回路中建立一精确模型[12]对比熟知的常规整数阶控制器，利用分数阶微积分的特殊性质，在设计控制器的时候使用分数阶微积分，在很多情况下有很大的优越性1.2研究背景与现状对熟知微积分的人而言，函数f的n阶微积分概念Dnf (t)=dnf(t)/dtn(n为正整数)己经不是什么陌生的概念。

1695年，法国数学家LHopital收到德国数学家Leibniz的一封信，在这封信里第一次提出“整数阶导数的概念，可不可以通过类似的方式推广到非整数阶导数呢” ，对于他所提出来的这个陌生问题LHopital感到非常地新奇在对Leibniz的回信里面，他反问了一个简单的问题，“如果我们把求导的次数设置为为二分之一，将会出现什么样的情况呢?”同年9月30日，Leibniz又给L Hopital回了一封信，在这封信里面，Leibniz写到“如果这样的话会导致错误结论，尽管如此总会有那么一天，会得到一些有用的结果 1695年9月30日，是非常具有纪念意义的一天，被大家认同为分数阶微积分的诞生之日在这之后，像，，，P.1 evy及等非常多的著名数学巨匠，在他们的基础上，经过多年的努力研究去完善和发展分数阶微积分理论[13-14]但是三百多年来，因为得不到物理、力学等相关联的背景学科的大力支持，分数阶微积分只是纯理论，被数学家单单在数学领域里面进行研究并且因为分数阶算子是在整数阶微积分的基础上建立起来的，这与经典物理学理论还有牛顿力学等是互相矛盾的，它的发展一直非常缓慢 1968年，美国耶鲁大学同时也是图灵奖得主的Mandelbrot教授，提出了分形学说，他首次将Riemann-Liouville分数阶微积分用来分析并研究分形媒介中的布朗运动。

由于混沌在本质上是一种分形，混沌是通过计算非线性方程而得到的，它在本质上可以理解为一种分形，但在描述混沌吸引子的时候，其分形维数并不依赖非线性方程，Mandelbrot通过研究分形维数的物理意义来寻找混沌吸引子普适常数的物理内容[15]Mandelbrot的研究发现，整数阶微积分有力地描述能够有效地描述Euclid空间，于此相对应，分数阶微积分能够有效地描述分数维空间在这次试验中，分数阶微积分得到成功验证，其他学科领域的学者开始关注分数阶微积分的理论及其应用第一部关于分数阶微积分的专著——《FractionalCalculus: Theory and Applications, Differentiation and Integration toArbitrary Order》是在1974年应用化学家和数学家合作出版的，在这本专著里面，首次详细阐释了分数阶微积分基本理论及其应用，分数阶微积分的研究从此跨入新时代为了促进分数阶微积分的发展和应用，1974年，第一届“分数阶微积分及其应用(Fractional Calculus and Its Applications)”国际会议在美国New Haven大学举行并在1975年出版了相应的论文集，这一盛举极大地促进了分数阶微积分的发展和应用[16]。

但在之后的二十年中分数接微积分发展却是相当平缓从二十世纪末开始，在科技迅速发展的同时许多问题的研究变得越来越复杂，人们的认知能力越来越强，与此同时分数阶微积分也得以快速发展，越来越多的领域开始应用分数阶微积分，例如松弛、随机扩散和波动的传播、金融、生物材料、控制和机器人、大分子链的变形、混沌和湍流、分子谱、粘弹性动力学、量子力学、电化学、电磁场、生物医学甚至交通、等等在分数阶微积分促进其他领域进步的同时，自身也得到了发展，当今非线性科学的一主要标志就是在混沌和结构耗散中的分数微积分应用分数阶微积分的专业期刊主要有以下三个：1992年创刊的Journal of Fractional Calculus、1998年创刊的Fractional Calculus& Applied Analysis及2010年创刊的Fractional Dynamic Sy。