点线面之间的位置关系的知识点总结.docx

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 1平面含义：平面是无限延展的45°，且横边画成邻边的2平面的画法及表示(1) 平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成2倍长(如图)(2) 平面通常用希腊字母a、B、y等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的 两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC平面ABCD等3 三个公理：(1) 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为公理1作用：判断直线是否在平面内(2) 公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 符号表示为：A B、C三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使 A€a、B€a、C€a公理2作用：确定一个平面的依据3) 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号表示为：P€aQB => aPp =L，且P€ L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：共面直线J相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;1平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线a// b=>a // c2公理4：平行c// b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4作用：判断空间两条直线平行的依据3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点:① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与 0的选择无关，为简便，点 0 —般取在两直线中的一条上;② 两条异面直线所成的角(0， ) ;JL③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a丄b；2④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内 一一 有无数个公共点(2 )直线与平面相交一一有且只有一个公共点(3) 直线在平面平行一一没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a a来表示+2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行符号表示：2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号表示:a 卩b BaH b = Pa//ab //a简记为：线面平行则线线平行符号表示：2、判断两平面平行的方法有三种:(1 )用定义；(2)判定定理；(3 )垂直于同一条直线的两个平面平行2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a//aa - p aaHp = b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行符号表示:a// aQy = a aB^y = b -作用：可以由平面与平面平行得岀直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义L丄a,直线L叫做平面a的如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L与平面a互相垂直，记作垂线，平面a叫做直线 L的垂面如图，直线与平面垂直时 ，它们唯一公共点 P叫做垂足L2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想232平面与平面垂直的判定二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形1、l- B 或 a -AB- B3、两个平面互相垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的 直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范 围.［例1］在正方体ABCD-A1B1C1 D1中,0是底面ABCD勺中心，M N分别是棱D1 C1的中点，则直线 OM（).A .是AC和MN的公垂线.C .垂直于MN但不垂直于B . 垂直于 AC但不垂直于 MN.AC. D .与AC MN都不垂直.错解B错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影 正解：A.G,H［例2］如图，已知在空间四边形 ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,交于分别是BC,CD上的点，且GGC = DC = 2 ,求证：直线EG,FH,AC相-一占八、、-错解：证明：常E、F分别是AB,AD的中点，1EF // BD,EF= 2 BD,BG DH又 GC = DC = 2 , . GH/ BD,GH=3 BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,DHHC=2,F分别是AD.. AC与FH交于一点.-直线EG,FH,AC相交于一点 正解：证明：；E、F分别是AB,AD的中点，1EF// BD,EF= 2 BD,又GC_ DH _ 2 HC 2 ,1二 GH/ BD,GH=3 BD,-四边形EFGH是梯形，设两腰 EG,FH相交于一点T,■■ EG 二平面 ABC,FH二平面 ACD,-T 面ABC且「面ACD,又平面 ABC 平面ACD=AC,C1C(1) 找(2) 直(3) 直■ T AC 直线EG,FH,AC相交于一点T.［例3］在立方体 ABCD- AiBiCiDi中， 出平面AC的斜线BD在平面AC内的射影;线BD和直线AC的位置关系如何？线BD和直线AC所成的角是多少度？ 解：⑴连结BD,交AC于点0-DD〔 _平面AC,. BD就是斜线BD1在平面AC上的射影(2)BDi和AC是异面直线.⑶过0作BD的平行线交DD于点M连结MA MC则/ MOA或其补角即为异面直线 AC和BD所成的角 不难得到 MA= MC而0为AC的中点，因此 MOL AC,即/ MOA= 90°•••异面直线BD与AC所成的角为90°［例4］ a和b为异面直线，则过 a与b垂直的平面（）.A .有且只有一个B.一个面或无数个C .可能不存在D.可能有无数个错解:A.错因:过a与b垂直的平面条件不清.正解:C.［例5］在正方体 AiBCD— ABCD中,E、F分别是棱 AB BC的中点,O是底面ABCD勺中点.求证:EF垂直平面BBO.证明：如图，连接AC BD,贝U O为AC和BD的交点.•/ E、F分别是 AB BC的中点，••• EF>△ ABC的中位线，••• EF// AC.•/ BiB丄平面 ABCD,AC 平面 ABCD• AC丄BB,由正方形 ABCD知：AC丄BO,又BO与 BB是平面BBO上的两条相交直线,• AC丄平面BBO（线面垂直判定定理）•/ AC/ EF,• EF丄平面BBO.OE_平只要在平［例6］如图，在正方体 ABCD-ABiCiD中，E是BB的中点，O是底面正方形 ABCD的中心，求证: 面 ACD .分析：本题考查的是线面垂直的判定方法•根据线面垂直的判定方法，要证明 OE_平面ACD ,面ACD内找两条相交直线与 OE垂直.° O证明：连结BD、AD、BD，在△ BiBD中,•/ E,O分别是BB和DB的中点，• EO// BiD .BA _1_ 面 AADD ,• DA为DB在面AADD内的射影.又••• AD _AiD ,••• AD 丄 DB同理可证BD_DC .又••• AD CDi =Di , AD,DiC 面 ACD ,• BD I 平面 ACD .•/ BD// OE ,• OE_ 平面 ACD .点 评：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法•在证明线线垂 直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用.[例7].如图，正方体 ABCD-ABCiD中，点N在BD上,点M 且 CM=DN求证:MN//平面 AABiB.证明：证法一.如图，作ME// BC,交BB于E,作NF// AD,交AB于F,连 平面AABiB.AlAME _ NF _ BN册一 BiC , 'AD _ bD ,ME BN NFbC _ "BD _ aD , ME=NF又ME/ BC// AD// NF,. MEFt为平行四边形■ MN/ EF. ■ MN//平面 AABiB.ClCl在BC上,EF贝U EF=DI证法二.如图,连接并延长CN交BA延长线于点 P,连BiP,贝U BPU平面AABiB.- ■ DN _ CNi.NDC s 匚NBP , NB _ NP ..CM _ DN _ CN 又 CM=DN,BC=BD, MBi NB NP .MN // BiP.壮 BiP 二 平面 AABiB,,； MN/ 平面 AABiB.证法三.如图，作MP// BB,交BC于点P,连NP.MP/ BB,CM _ CP二 PB -BD=BC,DN=CM, B1M 二 BN.CM _ DN CP _ DNMB； - NB， PB _ TNB .二 NP// CD// AB.”•” 面 MNP/面 AABiB..MIN/平面 AABiB.点、线、面之间的位置关系单元测试第1题.下列命题正确的是( )A. 经过三点确定一个平面E.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面答案：D.第2题.如图，空间四边形 ABCD中，E , F , 是AB , BC , CD , DA的中点.求证：四边形 EFGH。