北大版高等数学第一章函数及极限答案习题.pdf

习题 1.3 1.(1,2,),lim1,0,2|-1|,:nnnnnxnxNnnNxL设证明即对于任意求出正整数使得当时有 并填下表220,1,|-1| |1|,2,2222 ,|-1|.2.lim,lim | | |.0,|,| | |,lim | | |.3.,(1),nnnnnnnnnnnnnxnnnNnNxalalNnNalalalalalN不妨设要使只需取则当时 就有设证明使得当时此时故设有极限证明存在一个自然数证证1| | | 1;(2),|(12,).(1)1,| 1,| | | | | | 1.(2)max| | 1,|,|,|(12,).-313(1)lim23nnnnnnnNnnnN alaMaM nNnNalaallalllMlaaaM nNnnLLL是一个有界数列即存在一个常数使得对于使得当时此时令则4. 用说法证明下列各极限式:证3223/ 23/ 2sin; (2)lim0;21!(3)lim0(| 1); (4) lim0;111(5)lim1;1 22 3(1)11(6)lim0.(1)(2 )31311(1),2322(23)nnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnLgggL不妨设要使只需证0,0,0.1 0.01 0.001 0.0001 N 18 198 1998 19998 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 3232222333331sin,.11(3)|(0).41|(1)(1)(2)(1)1266242424,max4,.(1)(2)!111(4),.11(5)1 22 3nnnnnnNnNnqnnnn qn nn nnnnnNnnnnnNnnLLgg取当时3/ 23/ 23/ 22211(1)1111111111,.1223(1)11111(6),.(1)(2 )(1)5.lim0,|(1,2,),limnnnnnnnnNnnnnnNnnnnabMbM ngLLL设是有界数列即存在常数使得证明2222220.0,|,| |,lim0.6.lim1.0,11,1.(1)24444,1,.(1)(1)(1)127.:(1)lnnnnnnnnnnnnnnnna bNaa babMMMa bnnnnnnnNn nnnnng正整数使得故证明要使|=只需而只需求下列各极限的值证证32232244432221im(1)lim0.1310013/100/1(2) limlim.424 1/2 /4(210)(210/ )(3)limlim16.1 1/11(4) lim 1lim 1.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnenn精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 21111(5) lim1lim11111111.11lim 1lim1111111(6) lim1lim1,(,1), 1101nnnnnnnnnnnnnnnnnennqNnNqnnenn取当时2211,lim0,lim10,lim 10.1111(7) lim1lim1lim11.nnnnnnnnnnnnnnnnnennneg即12221212218.1111(1),12(1)111122.1 2(1)1111(2),21212121111111111121222222221nnnnnnnnnnnnnnnnxxxxnnxxnnnxxxxxLLgLLLg利用单调有界序列有极限证明下列序列极限的存在性:单调增加有上界，故有极限.1111.12111111(3).0,1222122,0,111(4)1 1.0,2!(1)!1111112133.2231nnnnnnnnnnnnnxxxxnnnnnnnxxxxxxxnnxnnnxLLL单调增加有上界，故有极限.单调减少有下界，故有极限.单调增加有上界，故11lim 11.2!nenL有极限.9. 证明 =精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 211(1) 1(1)(1) 1112!(1)(1) 1!111111112111112!111111 1.lim 1lim1 12!2!nknnnnn nn nnknnnnknn nnnnnknnknnnnnennnLggLLLLLLL证1.,11111112111,2!111 1,2!1111lim1 1lim 11.2!2!10.:|,1,2,nknnnknkknnknnnekeknxk xnLLLLL对于固定的正整数, 由上式, 当时令得设满足下列条件其中是小于211111.lim0.|0(),lim0.nnnnnnnnxxkxkxkxnxL的正数 证明由得证精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 。