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第一节 几何向量 解析几何是用代数的方法研究几何图形的几何学，中学学过平面解析几何，那是用代数方法研究平面几何图形，空间解析几何是用代数方法研究空间几何图形本章主要研究如下几个问题：1. 几何向量的线性运算；2. 几何向量的数量积（内积）、向量积（外积)、 混合积；3. 空间中的直线与平面5.1 几何向量及其线性运算5.1.1 几何向量的概念几何向量的概念 现实生活中有这样的两种量：数量，也称为标量，是只有大小的量，如时间、长度、质量、温度等；向量也称为矢量，是既有大小又有方向的量，如：力、速度、加速度、电场强度等，向量是研究研究物理学及几何学不可缺少的工具•向量：向量：既有大小，又有方向的量称为向量向量几何中的有向线段恰好也有这两个特征，因此也称上述向量为几何向量几何向量 设A，B是空间中的两个点，以A为起点，以B为终点的有向线段 （图5.1）就可以表示一个向量（大小为线段的长度，方向为箭头的方向） 向量的大小称为向量的长度（也叫向量的模），记为 长度为1的向量称为单位向量起点与终点重合的向量称为零向量零向量，记为0。

零向量零向量的长度为0，方向可看作是任意的也可以用黑斜体小写字母（英文或希腊文）表示，如 等 若几个向量平行于同一条直线，则称它们共线任意两个向量共面 在实际问题中，有些向量与起点有关，有些与起点无关用我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量自由向量如果两个向量 长度相等且指向相同，则说 相等，记为 若方向相反，则称 互为负向量一个向量的负向量唯一，记为 显然 5.1.2 几何向量的线性运算 向量的线性运算是指向量的加法和数与向量的乘法1.向量的加法 设为空间的两个向量，在空间中任取一点，作，，称以为起点、B为终点的向量为向量与的和，记为，即这一运算称为向量的加法，这种求和法称为三角形法则（见图5.2）也可以这样得到，作，，以与为邻边作平行四边形，将与顶点连接所得向量即为，该求和法称为平行四边形法见图5.3）设 为向量， ,k与 R的积 是满足如下两个条件的向量：2. 向量与数的乘法（1）（2）若 ， 与 同向；若 ， 与 反向。

由条件（1）知，当 或 ， 定义定理定理5.1 几何向量对于向量的线性运算满足下面八（1）（3）（7） （2） （4）（5）（6） （8）条性质：根据线性空间的定义，几何向量的全体按照几何向量的线性运算构成实数域上的一个线性空间，称为几何向量空间例例5.1 在平行四边形ABCD中，设 ， ，试用 和 表示 和 , 这里 是平行四边形对角线的交点（图5.4）[解] 由 得由得 D C B A M图5.4例例5.25.2 试证明向量 共面的充要条件是存在 不全为0的实数 使得 [证明] 充分性充分性 若有不全为0的实数 使得不妨设 ，则 不妨设 ，令 ，则 为以 为邻边的平行四边形的对角线，当然 在 所在的平面上。

必要性必要性 设 共面，令 ，过C作平行于 的两条直线，分别交 所在的直线于 则 与 在同一直线上， 与 在同一直线上（方向未必相同），若 中有一个为0，不妨设 ，则取有 故不妨设 ，令 前的符号以 与 、 与 是否同向而定，则即有5.1.2 5.1.2 坐标系坐标系 把空间的点与数联系起来要依靠空间中的坐标系坐标系将几何问题代数化，也将向量的线性运算化为数的运算定理5.2 设 为空间中三个不共面的向量，则对任一向量 ，存在唯一的一组实数 使得[证明] 在空间任取一点O，过O点作直线分别平行于向量 ，并作 由于 不共面，直线 也不共面过P点作三个平面分别平行于平面 ，它们与 分别交于点 于是有实数 使得 ，且使得 成立若还有 使得 ，则 ， 因 不共面，则 ，于是 唯一。

定义定义5.15.1 设O为空间一点， 为空间中三个不共面的向量，则 称为空间的一个纺射坐标系向量 称为空间的一个基 通过O点，分别平行且同向于 的射线 称为坐标轴，平面 称为坐标面  设P为空间中的一个点，由定理5.2知，向量 在纺射坐标系 中有唯一表示 ，我们称 为 在基 下的坐标，此时记点P为 O称为纺射坐标系的原点，坐标为 结论结论5.1 5.1 取定坐标系后，空间中每一点有唯一的坐标 ；反之，对任一 ，空间有唯一的点P，使得 ， 即P以Z为坐标 分别为 在 方向上的分量即取定坐标系后，几何向量空间中的， ， 结论结论5.25.2 取定纺射坐系 ， , 为任意两个向量，则几何向量与 中的向量形成了一一对应。

 a+b的坐标为 ，即和运算可以通过相应的坐标求和来实现由定理5.2知， 结论结论5.35.3 取定纺射坐系 , ， 为任一向量，k为任意实数，则即数与向量的积也可以通过用数乘以向量的坐标来实现 当纺射坐标系中的向量 相互垂直且长度为1时，就得到了直角坐标系，习惯上记为或 ，其中 或 表示长度为1相互垂直的三个向量，并且 与 配置在水平面上, 则是铅垂线，它们的正方向构成“右手系” 5.2 向量的数量积、向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积1. 向量的数量积 设有两个非零向量 ，任取空间一点O,作 ， ，规定不超过 的 称为向量 与 的夹角，记作 如图 设空间一点A及一轴u，过点A作轴u的垂面 ，称垂面与轴u的交点 为点A在轴u上的投影（图 ）与定义定义5.2 设向量 的起点A与终点B在轴u上的投影分别为 与 （图），则称轴u上的有向线段 的值（其绝对值为 的长度，其符号由 的方向确定。

当 与u轴同向时取正号，反向时取负号）为向量 在轴u上的投影，记作 ，轴u称为投影轴定理定理 设 为两个向量，则从向量数量积或内积的定义可以看出，向量的内积满足如下性质注：又内积的定义可以看出定理定理 向量 在u轴上的投影 ，其中 为 与u轴的夹角 定义定义 设 为空间中的两个向量，称 为 与 的数量积或内积，记作 或 （1）（2）（3）（4） ，且 当且仅当 [证明] 由余弦定理易得且有注：又内积的定义可以看出 定理定理 在空间直角坐标系 下的坐标分别 为 与 ，则注：向量的向量积和混合积定义定义 设 为空间中的三个向量，若满足：（1）（2）（3） 向量 构成右手系，则称 为向量 的向量积，记为 。

若 中有一为零向量，规定 向量的向量积满足：（1）（2）（3）（4）注:（1）向量的向量积不满足交换律； （2）向量的向量积不满足消去律，即在一般情形下，由 , ，推不出 ；结论1 与 以为邻边的平行四边形的 面积相同图） 结论结论2 由向量积的定义可知，对非零向量 ， 等价于与平行 结论结论3 在空间直角坐标系 下的坐标分别 为 与 ，则[证明] 根据向量积的定义有根据向量积的性质得根据行列式的定义可知结论成立 定义定义 设 为空间中的三个向量，称 为 与 的混合积，也记为 定理定理 在空间直角坐标系 下的坐标分别为 ， 与 ，则 [证明]性质（1）性质（2） 向量 共面的充分必要条件是结论结论： 是 张成的平行六面体的体积。

第三节第三节 向量的内积与欧几里德空间向量的内积与欧几里德空间 由上一节可以看出，几何向量的全体按照几何向量的线性运算构成实数域上的一个一线性空间，几何向量空间中可以定义向量的内积，且具有如下四条性质：（1）（2）（3）（4） ，且 当且仅当定义定义 设V是实数域R上的线性空间，若对任意 都有唯一的实数与之对应，且对任意 以及任意的 满足：（1）（2）（3）（4） ，且 当且仅当 几何向量空间中的内积可以推广到一般线性空间中去则称 为向量 与 的内积例例 性空间 中，对任意向量 ， ，定义 ，则 为 上的内积性质（1）（2）（3）定义定义 称 为向量 的长度，记为 ，长度为1的向量称为单位向量。

例例 在欧氏空间 中， 与 的内积 ，则 定义定义 实数域上的线性空间定义了内积后称为欧几 里德空间，简称为欧氏空间长度的性质（1） ， 当且仅当 （非负性）（2） （齐次性）（3） （三角不等式）引理引理（柯西-许瓦兹不等式）， 且等号成立当且仅当 ， 线性相关 证明证明 考虑 ，则根的判别式 ，即 。

若等号成立，则存在k使得 ，从而 ，所以 ， 线性相关若 ， 线性相关，1） ，显然等号成立；2） ，则存在使得，代入得等号成立下面仅证明性质（3）因为两边开方得 例例 在欧氏空间 中，内积的定义见例由柯西-许瓦兹不等式得，对任意 , 有例例 性空间 中，对任意 ，定义 ，则 是上的内积，由柯西-许瓦兹不等式有例 证明证明 一方面 另一方面，因为 ，所以所以有 。

例例 证明证明 结论结论 零向量与任意向量正交定义定义 一组两两正交的非零向量称为正交向量组，由单位向量组成的正交向量组成为标准正交向量组 定义定义 为欧氏空间V中的非零向量，称 为 与 的夹角当 时，称 与 正交，记为 定理定理 正交向量组线性无关证明 设 为正交向量组，则令则即因为 ，所以 ，从而 线性无关定义定义 由正交向量组成的基称为正交基，由标准正交向量组成的基称为标准正交基结论结论 是n维欧氏空间的标准正交基的充分必要条件是例 在欧氏空间 中， 为标准正交基。

证明 取取 使得 ，则因为 ，所以 ，故又因为 线性无关，所以 且 即 正交再取 ，且满足 ， 定理定理 设V为n维欧氏空间，则其任意一组基 可以化为正交基与标准正交基则即因为 ， ， ，所以 ，， 故 且分别与 正交 同理，因为 是 从而是 （线性无关）的线性组合，且 的系数为1，所以 ， 是正交向量组。

一般地取 ， 则 为正交向量组，从而为正交基 最后取 ， ，则 为标准正交向量组，从而为标准正交基例 为维欧氏空间 的一组基，求 的一个标准正交基解 取定理证明中构造标准正交基的方法称为施密特（Schmit）正交化方法则 是正交基再取则 为标准正交基 例 在 中， 为一组基，对任意 ，定义则 是 上的内积， 成为一维欧氏空间。

记取 则 是正交基再取则 为标准正交基结论结论 设 为n维欧氏空间的标准正交基， ， ，则第四节第四节 几何向量空间与几何向量空间与3-3-维欧几里德空间维欧几里德空间 从第一节我们看到，若以E表示空间中几何向量的全体，那么，按照几何向量的线性运算构成实数域上的线性空间当建立了空间坐标系后，集合E与集合 就建立了一一对应关系 由第二节与欧几里德空间的定义知道，在E上定义了几何向量的数量积或内积后，E成为一个欧几里德空间事实上，一般的欧几里德空间正是欧几里德空间E的推广 当建立空间直角坐标系 后，任一几何向量 ，有唯一的坐标 与之对应，反过来，对任一 ，有唯一的几何向量 以X为坐标。

即集合E与 集合就建立了一一对应关系同时，对 ， ，记 ， ，则 即几何向量 的内积等于其坐标在 中的内积由此几何向量 的长度等于其坐标向量在中的长度，两个几何向量 的夹角等于其坐标向量在 中夹角 由以上可以看出，当建立空间直角坐标系后，几何向量空间与线性空间 在广泛的意义下是等价的，或者说，线性空间 是几何向量空间的代数表示因此 ，若 ，则可记为 或者 第五节 直线与平面 空间中的平面（直线）上的点的坐标所满足的代数方程称为空间中的平面（直线）方程我们仅考虑空间直角坐标系下平面（直线）的方程。

一.空间中的平面方程1.点法式 设平面 通过点 ，并且垂直于非零向量 ，这里称n为平面 的法向量又设 为平面 上的任意一点，则 在平面内，因此 与法向量n垂直，从而即 （5显然，平面 上的任意一点的坐标满足方程（5反之，若一点 满足方程 （5则 与法向量n垂直，因此点 在平面上所以式（5为平面 的方程，称其为平面 的点法式点法式方程2.一般方程将式（5整理得： （5其中 ，称（5为平面 的一般方程任一平面可由其上的一点及法向量确定，故可表示为点法式方程和一般方程2．任意给定一个三元一次方程 ， 不全为零，取 为法向量，再任取满足方程的一点 ，那么，该方程即为点法式确定的平面方程进而得到的一般方程。

例 已知平面 过点 ，且平行于向量 与 ，求平面 的方程解：因为 垂直于 ，所以垂直于平面 ，因此 为平面 的法向量，所以平面 的方程为即3.三点式方程 空间中三个不共线的点唯一确定一个平面设平面 过不共线的三个点 ， ， ，因为这三点不共线，所以 与 不共线，从而 为平面的法向量所以平面方程为即4.点线确定的直线方程 设平面 过直线以及直线L外的点 ，求确定的平面方程 在直线上任取不同的点 ， ，则得三点式方程5、参数方程 设平面 通过点 ，且平行于不共线向量 与 ，求平面 的方程 设 为平面 上的任意一点，则 与平行于 确定的平面，或 与 共面，故存在实数 使得即 或此即为平面的参数方程，其中 为参数。

二.空间中的直线方程 1.参数方程 设直线L过一个已知点 ，且平行于已知的非零向量 ， 为直线上的任意一点，那么向量 与向量 平行，于是存在实数 使得于是该方程称为直线的参数方程参数方程2.标准方程 消去 ，得该方程称为直线的标准方程标准方程注：若 一个为零，比如 ，方程应理解为 若 两个为零，比如 ，方程应理解为3、一般方程 不平行（包括重合）的两个平面唯一确定一条直线——两个平面的交线设两个平面 的方程分别为 ： ：二者不不平行（包括重合），即二者的法向量 ， 不共线，设 为交线上的任一点，则该点坐标满足： （5 反之若一点 满足（5式，则该点在 的交线上，因此（5式即为一直线方程，称为直线的一般方程。

注：直线的标准方程、参数方程、一般方程之间可以互相转化例 设直线L的一般方程为求直线L的标准方程与参数方程解：平面 的方程为 ，法向量为 ，平面 的方程为 ，法向量为 ，则直线L与 ， 垂直，因此为直线L的方向向量，又直线过点（0，0，0），所以直线L的参数方程为标准方程为 或例 求与 直线 及都平行且过原点的平面方程解：法（一）将 化为标准方程： 则 的方向向量为 的方向向量为 ，所以平面的法向量为 ，所以平面的点法式方程为： 或法（二）由上知， 、 分别为二平面的方向向量，设 为平面上任意一点，因为原点O在平面上，所以向量 在平面上，故 与 、 共面，因此存在实数 使得 即 第六节 度量矩阵与标准正交基设V为一欧氏空间， 为一组基， ， ，则记 ， ， ，则 于是我们称 为基 的度量矩阵。

结论：若 为欧氏空间的标准正交基，则其度量矩阵为单位矩阵结论：若 为欧氏空间的标准正基， ， ，则 ，其中 ， 第七节 正交变换定义定义 设 是欧氏空间V上的线性变换，若对任意的 ，有 ，则称 为欧氏空间V上的正交变换例 设P为n阶正交阵，在 上定义线性变换 如下： ， ，则 为 上的正交变换 （1） 为V上的正交变换；（2） ， ；（3）设 为n维欧氏空间的标准正交基，则 也为n维欧氏空间的标准正交基；（4） 在任意标准正交基下的矩阵为正交阵定理定理 是欧氏空间V上的线性变换，则下列命题 等价证明：因为 为V上的正交变换，所以 ，有 ， ， ，所以 ，即 ，从而故由 ， 得故 也为n维欧氏空间的标准正交基； 因为 为标准正交基，所以所以故 为正交阵。

设 为任意标准正交基， 在该基下的矩阵为 ，则因为 ， 皆为标准正交基，而 ， ，设 为标准正交基，线性变换 在该基下的矩阵为正交阵 ， 有结论：正交变换保持向量间的夹角不变所以故 从而 ， 为正交变换。