初中数学模型《出水芙蓉》题型含答案解析.pdf

1出水芙蓉型出水芙蓉型一、单选题一、单选题1(数学文化)我国古代著作 九章算术 中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”其大意为：有一水池一丈见方，池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐(如图)，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺，设水深为x尺，则可列方程为()A.x-12=x2+52B.x-12+52=x2C.x+12+52=x2D.x+12=x2+52【答案】D【详解】解：如图，由题意得：AC=x尺，BC=12BE=5尺，CD=1尺，AB=AD=(x+1)尺，ADBC，则在RtABC中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，即(x+1)2=x2+52，故选：D2如图在平静的湖面上，有一支红莲BA，高出水面的部分AC为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面(即AB=DB)，已知红莲移动的水平距离CD为3米，则湖水深CB为()A.3 米B.3米C.4米D.12米【答案】C【详解】解：在RtBCD中，设BC=h，BD=AB=h+1，DC=3，由勾股定理得：BD2=BC2+CD2，即 h+12=h2+32，解得：h=4故选：C3将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是()A.0h12B.12h13C.11h12D.12h242【答案】C【详解】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24-12=12(cm)当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB=AC2+BC2=122+52=13(cm)，故h=24-13=11(cm)故h的取值范围是：11cmh12cm故选：C4将一根20cm的细木棍放入长，宽，高分别为4cm，3cm，12cm的长方体盒子中，则细木棍露在外面的最短长度为()A.8B.7C.6D.5【答案】B【详解】解：按如图所示的方法放置细木棒，露在盒子外面的部分才最短在RtCDE中，由勾股定理，得CE=32+42=5 cm在RtBCE中，由勾股定理，得BC=CE2+BE2=52+122=13 cm，此时露在盒子外面的部分为AB=20-13=7 cm故选B5如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8，高是12，上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的取值范围是()3A.12a13B.12a15C.5a12D.5a13【答案】A【详解】解：由题意可得：a的最小长度为饮料罐的高，即为12，当吸管斜放时，如图，此时a的长度最大，即为AB，下底面半径是5，AB=52+122=13，a的取值范围是12a13，故选：A6如图是一圆柱形玻璃杯，从内部测得底面直径为12cm，高为16cm，现有一根长为25cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是()A.6cmB.5cmC.9cmD.25-2 73cm【答案】B【详解】如图，沿杯子的底面直径纵向切开，则当吸管在矩形的对角线所在直线上时，杯内吸管最长，则吸管露出杯口的长度最小，由勾股定理得：杯内吸管的长度为：122+162=20(cm)所以吸管露出杯口外的长度最少为25-20=5(cm)；故选：B47如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD=0.8米竹竿高出水面的部分AD长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD为()A.1.5米B.1.7米C.1.8米D.0.6米【答案】A【详解】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=(x+0.2)m，在RtCDB中，0.82+x2=(x+0.2)2，解得x=1.5故选：A8如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分以的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()A.12a13B.12a15C.5a12D.5al3【答案】A【详解】解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：52+122=13即a的取值范围是12a13故选：A9如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分h cm的取值范围为()5A.3h4B.3h4C.2h4D.h=4【答案】B【详解】当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16-12=4(cm)；露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长=32+42=5cm，高为12cm，由勾股定理可得：杯里面管长=52+122=13cm，则露在杯口外的长度最短为16-13=3(cm)，3h4；故选：B10如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是()A.0h11B.11h12C.h12D.04)，CD=CF-DF=x-2(x2)，在直角三角形BCD中，BCD=90，由勾股定理得：BC2+CD2=BD2，所以(x-4)2+(x-2)2=x2，整理，得x2-12x+20=0，因式分解，得(x-10)(x-2)=0，解得x1=10，x2=2，x4，x=10答：竹竿为10尺故答案为：1014如图，在水池的正中央有一根芦，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它7的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是【答案】13尺【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，根据勾股定理得：x2+1022=(x+1)2，解得：x=12，芦苇的长度=x+1=12+1=13(尺)，故答案为：13尺15如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B，则这根芦苇的长度是尺【答案】13【详解】解：设芦苇长AB=AB=x尺，则水深AC=(x-1)尺，因为底面是边长为10尺的正方形，所以BC=5尺在RtABC中，52+(x-1)2=x2，解之得x=13，即芦苇长13尺故答案为：1316将一根长为24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为16cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度为cm【答案】4【详解】解：杯子内筷子的最大长度是：122+162=20cm则筷子露在杯子外面的最短长度是：24-20=4(cm)，故答案为：417现将一支长20cm的金属筷子(粗细忽略不计)放入一个长和宽分别为8cm，6cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为cm【答案】10 3【详解】解：如图，由题意可得，EF=6,FH=8,EL=20,8EH=82+62=10,(cm)，故水槽中的水深至少为：LH=EL2-EH2=202-102=300=10 3(cm)，故答案为：10 3.18九章算术 中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C处(如图)，水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是尺【答案】12【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AC=AC=x尺，则水深AB=(x-1)尺，CE=10尺，CB=5尺，在RtACB中，根据勾股定理得，52+(x-1)2=x2，25+x2-2x+1=x2解得x=13，即芦苇长13尺，水深为12尺，故答案为：1219我国古代数学著作 九章算术 中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭(ji)生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”(注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺)这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根9芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面则水池里水的深度是尺【答案】12【详解】设这个水池深x尺，由题意得，x2+52=(x+1)2，解得：x=12答：这个水池深12尺故答案为：12三、解答题三、解答题20读诗求解“出水3尺一红莲，风吹花朵齐水面，水面移动有6尺，求水深几何请你算”【答案】4.5 尺【详解】设水深AP=x尺，PB=PC=(x+3)尺，根据勾股定理得：PA2+AC2=PC2，x2+62=(x+3)2解得：x=4.5，答水深 4.5 尺21我国古代数学著作 九章算术 中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”(注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺，1尺=13米)，这段话翻译城现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少米？请你用所学知识解答这个问题【答案】4米【详解】解：设水池里水的深度是x尺，由题意得，x2+52=(x+1)2，解得：x=12，1213=4米10答：水池里水的深度是4米22(古代数学问题)印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.【答案】水深3.75尺【详解】解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5，根据勾股定理得：(x+0.5)2=x2+4；解得：x=3.75答：湖水深3.75尺23如图，一个直径为12cm(即BC=12cm)的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm(即FG=2cm)，当筷子GE倒向杯壁时(筷子底端不动)，筷子顶端正好触到杯D，求筷子GE的长度【答案】筷子GE的长度是10cm【详解】解：设筷子GE的长度是x cm，那么杯子的高度EF是(x-2)cm，杯子的直径为12cm，杯子半径DF为6cm，在RtDFE中，(x-2)2+62=x2，即x2-4x+4+36=x2，解得：x=10，答：筷子GE的长度是10cm24如图，一个直径为12cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动)，筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度【答案】10cm【详解】解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是(x+2)cm，杯子的直径为12cm，杯子半径为6cm，x2+62=(x+2)2，x2+36=x2+4x+4，x=8，118+2=10cm答：筷子长度为10cm25一株荷叶高出水面1米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有2米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度【答案】荷叶的高度为52米，水面的深度为32米【详解】解：设OA=OB=x米，则OC=(x-1)米，BC=2米，在RtOBC中，由勾股定理得：OC2+BC2=OB2，(x-1)2+22=x2，解得x=52，OA=52(米)，OC=x-1=32(米)，答：荷叶的高度为52米，水面的深度为32米。