第四节--空间曲线及其方程.docx

精品资料 欢迎下载第四节 空间曲线及其方程一 空间曲线的一般方程曲面 F x, y, z0 和 G x,y, z0 的交线 C 可表示为它称为 空间曲线 C 的一般方程 .F x,G x,y, z 0,y, z 0.x2例 1 方程组y2 1,表示何曲线 .2x 3z 622解 x y 1表示母线平行于 z 轴的圆柱面 , 其准线是 xy 面上的圆x2 y2 1. 2 x 3z6 表示一个母线平行于 y 的柱面 , 其准线是 xz 面上的直线 2x 3z 6 , 因而 2x 3z6 在空间表示一个平面 .x2 y 2 1,是上述圆柱面和平面的交线 .2x 3z 6例 2 方程组z a x222ay ,2a 2 表示何曲线 .x y22 2解精品资料 欢迎下载二 空间曲线的参数方程x x t ,y y t ,z z t叫做 空间曲线的参数方程 ， t 称为 参数 .例 3 如空间一点 M 在圆柱面 x2 y2 a2 上以角速度 绕 z 轴旋转 , 同时又以线速度 v 沿着平行于 z 轴的正方向上升 〔 和 v 均为常数 〕 , 就点 M 的轨迹叫做 螺旋线 . 试建立其参数方程 .ya M t AO a x解 设 t 为时间 . 当 t0 时, 设 M 位于 x 轴上的A a, 0, 0处. 经过时间 t ,M 由 A 运动到M x, y,z . 记 M 在 xy 面上的投影为M x,y, 0 , 就精品资料欢迎下载xOM cosAOM a cost ,yzOM sinM M vt.AOM a sint,于是 , 螺旋线的参数方程为x a cos t,y a sin t,z vt.注 如设 t , 就该方程变为x a cos ,y a sin ,z b .这里 , bv为常数 , 而 是参数 . 这说明曲线的参数方程不唯独 , 参数的挑选也不唯独 .曲面的参数方程 〔删〕三 空间曲线在坐标面上的投影以空间曲线 C 为准线且母线垂直于平面 的柱面 S 称为曲线 C 关于平面的投影柱面 . S 和 的交线 C 称为 C 在 上的 投影曲线 或投影 .设有空间曲线 .F x,C :G x,y, z 0,y, z 0.由此消去 z , 得 C 关于 xy面的投影柱面S : P x, y 0 .于是 , C 在 xy 面上的投影曲线为P x, y 0,C :z 0.精品资料 欢迎下载同理 , 如由 C :F x,G x,y, zy, z0,消去 x , 就得 C 关于 yz 面的投影柱面0T : Q y, z 0和 C 在 yz面上的投影Q y, z 0,C :x 0.如由 C :F x,G x,y, zy, z0,消去 y , 就得 C 关于 xz 面的投影柱面0U : R x, z 0和 C 在 xz 面上的投影R x, z 0,C :y 0.x2 y2z2 1,2例 4 求曲线 C :2 2 在 xy面上的投影曲线 .x y 1 z 1 1解 用第一式减去其次式 , 得y z 1 .于是 , z1 y . 代 入 x2y2 z2 1 , 得精品资料 欢迎下载x2 2 y22 y 0 ,从而所求的投影方程为x2 y 2x2zz 2 1,2 y2 2 y 0,0.注 1 C :x22 2y 1 z 1是球面 x21y2 z2 1和x2 y 1 22z 1 1的交线 , 因而 C 是一个圆 .注 2 y z 1 是曲线 C 向 yz 面的投影柱面 〔平面 〕 , 它是 C 所在的平面 .精品资料 欢迎下载注 3 x22 y22 y 0 是 C 向 xy 面的投影柱面 , 即 x2y 121 〔 椭21 12 421x2 y 2圆柱面 〕 . 于是 , 投影曲线为 1 12 41, 〔椭圆 〕 .z 0精品资料 欢迎下载1y21 211 x 22 1 12 412例 5 设一个立体由上半球面 z4 x2y2 和锥面 z2 23 x y 所围成， 求它在 xy 面上的投影 .精品资料 欢迎下载解 z 4 x2y2 和 z2 23 x yz 4 x2 y 2 ,的交线为 C :z 3 x2 y2 .消去 z , 得 x2 y2 1 , 它是从 C 向 xy 面所作的投影柱面 〔圆柱面 〕 .C 在 xy面上的投影曲线为 C :x2 y2 1,z 0.〔 xy 面上的单位圆 〕. 所求立体在 xy 面上的投影即该圆的内部 .精品资料 欢迎下载作业 P. 324 1 〔1〕 , 〔2〕 , 2, 3, 4, 7, 8提示2 〔2〕 作图后易懂得 .3 由已知的方程组分别消去 x 和 y 即可 .4 由已知方程消去 z .7 参照样 2.0 z a 2 x2y2 表上半球面z a 2 x2y 2 和平面z 0所围的半球体的内部 , x2 y2ax 表圆柱体 x2y2 ax0 的内部 .。