2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案.doc

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 曲线渐近线的条数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】C【考点】函数图形的渐近线【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线ii）渐近线分为水平渐近线（，为常数）、垂直渐近线（）和斜渐近线（，为常数）iii）注意：如果（1）不存在；（2），但不存在，可断定不存在斜渐近线在本题中，函数的间断点只有.由于，故是垂直渐近线.（而，故不是渐近线）.又，故是水平渐近线.（无斜渐近线）综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数,其中为正整数,则 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】A【考点】导数的概念【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点：.在本题中，按定义.故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：.在本题中，用乘积求导公式.含因子项在为0，故只留下一项.于是故选（A）. (3) 如果函数在处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限存在,则在处可微 (B) 若极限存在,则在处可微(C) 若在处可微,则极限存在(D) 若在处可微,则 极限存在【答案】B【考点】全微分存在的必要条件和充分条件【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：全微分存在的充分条件 如果函数的偏导数、在点连续，则函数在该点可微分.在本题中，若，则又在连续.于是由极限与无穷小的关系，其中为无穷小.，其中.因此在可微.故选（B）.（A）不正确，如满足条件，但在不存在偏导数，故不可微.（C）不正确，如在可微，但不存在.（D）也不正确，如在可微，但不存在. (4)设，则有 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】D【考点】定积分的基本性质【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设，则.在本题中，，，，，因此.故选D.(5)设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A) (B) (C) (D)【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：个维向量相关在本题中，显然，所以必线性相关.故选C.(6) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且.若P=（），，则 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.在本题中，由于经列变换为，有，那么故选B.(7)设随机变量与相互独立，且分别服从参数为与参数为的指数分布，则( )(A) (B) (C) (D) 【答案】A【考点】常见随机变量的分布【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若随机变量的概率密度为则称服从参数为的指数分布.在本题中，依题设知，的概率密度分别为 又与相互独立，从而与的联合概率密度为于是故选A.(8)将长度为的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】D【考点】相关系数的性质【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若，则当时，；当时，.在本题中，设其中一段木棒长度为，另一段木棒长度为，显然，即，与之间有明显的线性关系，从而.故选D.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)若函数满足方程及，则 【答案】【考点】二阶常系数齐次线性微分方程【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程有两个不同的实根，微分方程的通解形式为.在本题中，因满足 ① ②由①、②，得，两边乘以得积分得，即代入②式得，于是代入①式自然成立.因此求得. (10) 【答案】【考点】定积分的换元积分法【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：第一类换元法 在本题中，，其中是半单位圆的面积.(11) 【答案】【考点】梯度【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：在本题中，记，则，，因此(12)设，则 【答案】【考点】曲面积分的计算【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：曲面积分公式：在本题中，投影到平面上.在平面上的投影区域为由的方程，现将曲面积分化为二重积分，然后求出积分值. (13)设为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵的秩为 【答案】2【考点】矩阵的特征值的性质；实对称矩阵的相似对角矩阵【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）若，则；（ii）实对称矩阵必可对角化.在本题中，设，则有，又，易见秩.那么，所以矩阵的特征值为1，0，0，从而的特征值为0，1，1.又因为对称矩阵，从而，故.(14)设,,是随机事件，A与C互不相容， 【答案】【考点】条件概率【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：条件概率公式在本题中，由于与互不相容，所以，，从而.于是.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明：【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数在上连续，在内可导.①如果在内，那么函数在上单调增加；②如果在内，那么函数在上单调减少.证明：令，则转化为证明（）因，即为偶函数，故只需考察的情形.用单调性方法.，，，其中，，因时，又在连续在，（），同理在，在，.又因为偶函数，.即原不等式成立. (16)求函数的极值.【考点】多元函数的极值【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：二元函数取得极值的充分条件：设在点的某邻域有连续的二阶偏导数，又，，令，，，则（1）当时，在取极值，且当时取极小值，时取极大值；（2）当时，不是的极值点；（3）当时，仅此不足以判断是否是的极值点，还需另作讨论.在本题中，先求函数的驻点. 解得驻点为，又根据判断极值的第二充分条件，代入（1，0），得，，，从而，，所以在（1，0）取得极大值，极大值为； 代入（-1，0），得，，，从而，，所以在（-1，0）取得极小值，极小值为.(17)求幂级数的收敛域及和函数.【考点】幂级数的收敛域、和函数【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）求幂级数收敛域的步骤：（1）求收敛半径：设，则（2）讨论端点的敛散性：如果，则需进一步讨论在处的敛散性；（3）写出幂级数的收敛域.（ii）和函数的性质：（1）和函数在内可导，并且有逐项求导公式：；（2）在幂级数的收敛域上逐项积分公式成立，即.本题中，直接用求收敛半径的公式，先求于是收敛半径当时，原级数=，第n项的极限即，所以当时，原级数发散；同理可证，时，原级数也是发散的.因此，原级数的收敛域为.和函数令，，因为，所以.因为，所以所以当时，；当时，，.所以(18)已知曲线其中函数具有连续导数，且，.若曲线的切线与轴的交点到切点的距离恒为1，求函数的表达式，并求以曲线及轴和轴无边界的区域的面积.【考点】导数的几何意义、定积分的应用【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）曲线在点处的切线方程为.（ii）由曲线及直线，与轴所围成的曲边梯形的面积是定积分.（Ⅰ）求.当时，曲线在切点处的切线斜率为，切线方程为令得切线与轴的交点的坐标为于是点坐标为，切点的坐标为依题设，与的距离为，化简得，积分得（Ⅱ）求无界区域的面积曲线可表为，当时当时，于是 (19)已知是第一象限中从点沿圆周到点，再沿圆周到点的曲线段，计算曲线积分【考点】格林公式【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：格林公式：在本题中，记1）；2）曲线不封闭，添加辅助线沿轴由点到点.；3）在与围成的区域上用格林公式（边界取正向，即逆时针方向）：，因此(20)设（I）计算行列式； （II）当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.【考点】行列式按行（列）展开定理；非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即，或.（ii）设是矩阵，方程组，则方程组有无穷多解（I）按第一列展开，即得（II）因为时，方程组有可能有无穷多解.由（I）知或当时，，由于，，故方程组无解.因此，当时不合题意，应舍去.当时，，由于，故方程组有无穷多解.选为自由变量，得方程组通解为：（为任意常数）.(21)已知，二次型的秩为2（I）求实数的值； （II）求正交变换将化为标准形.【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特征值和特征向量；用正交变换化二次型为标准形【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）实对称矩阵的特性：不同特征值的特征向量互相正交.（ii）任给二次型，总有正交变换，使化为标准形，其中是的矩阵的特征值.（I）二次型的秩为2，即因为，故.对作初等变换有，所以.（II）当时，.由，可知矩阵的特征值为0，2，6.对，由得基础解系，对，由得基础解系，对，由得基础解系.实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化.，，.那么令，就有.（22）设二维离散型随机变量的概率分布为 01200100。