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狄拉克符号狄拉克符号（也叫“bra-ket 符号”）与希尔伯特空间一起，构成了量子力学形式体系，是非常重要的基本概念[1]目录1基本介绍2矩阵表示3性质1基本介绍狄拉克（Dirac）符号（也叫“bra-ket 符号”）于1939年被狄拉克提出，他将“括号（bracket）”这个单词一分为二，分别代表这个符号的左右两部分，左边是“bra”，即为左矢；右边是“ket”，即为右矢[1]把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点用右矢|α>表示态矢，左矢<α|表示其共厄矢量，<α|β>是内积，<α|α>大于等于0，称为模方β><α|是外积注意的是：几种表示的意义：|α> 右矢，<α| 左矢，A表示算符，A|α>表示一个右矢，<α|A表示一个左矢，而且，A总是从左方作用于右矢，从右方作用于左矢的 <α|A|β>是一个复数，可以看成（<α|A|）|β>即一个左矢与一个右矢的内积；或者<α|（A|β>），即一个右矢与一个左矢的内积狄拉克符号在量子力学理论表述中 有两个优点：1.可以毋需采用具体表象（即可以脱离某一具体的表象）来讨论问题2.运算简捷，特别是对于表象变换2矩阵表示右矢与左矢可分别用N1阶和1N阶矩阵表示为：[1]不同的两个态矢量的内积则由一个括号来表示：<ψ|φ>，当狄拉克符号作用于两个基矢时，所得值为： （δij为克罗内克函数）相同的态矢量内积为：3性质因为每个右矢是一复数希尔伯特空间中的一个矢量，而每个右矢-左矢关系是内积，而直接地可以得到如下的操作方式：[2-3]（1）给定任何左矢<Φ|、右矢|Ψ1>以及|Ψ2>复数c1及c2，则既然左矢是线性泛函，根据线性泛函的加法与标量乘法的定义有：（2）给定任何右矢|Ψ>、左矢<Φ1|以及<Φ2|，还有复数c1及c2，则既然右矢是线性泛函：（3）给定任何右矢|Ψ1>以及|Ψ2>，还有复数c1及c2，根据内积的性质（其中c*代表c的复数共轭），则有：和对偶。

4）给定任何左矢<Φ|及右矢|Ψ>，内积的一个公理性质指出：参考资料 1． PAM Dirac ．A new notation for quantum mechanics ：Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society ，1939 ． 2． H. Grassmann ．Extension Theory ：History of Mathematics Sources. American Mathematical Society, London Mathematical Society ，1862 ． 3． D. McMahon, Mc Graw Hill ． Quantum Mechanics Demystified ：AAPP-PHYSICAL, MATHEMATICAL AND NATURAL SCIENCES ，2006 ．。