连续函数的性质(精).ppt

3.2 连续函数的性质 一、连续函数的局部性质四、初等函数的连续性性三、反函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质一、连续函数性质1、连续函数的四则运算性定理 证 定理22、复合函数的连续性于是3、连续函数的局部有界性故证定理4（局部有界性）则这就证明了4、连续函数的局部保号性定理3（局部保号性）则, )0)(0)(00 xfxf或 均有使得对一切存在,0DxDx二、闭区间上连续函数的性质定义若点,一、最大(小)值的定义1.闭区间上连续函数性质定理（最大、最小值定理） 定理 (有界性) 引理（零点定理）则至少存在一点使定理（介值性定理）上连续,则(至少)存在一点定理（介值性)上连续,则(至少)存在一点证 不妨设 f (x) 严格增, 那么 就是反上连续, 且与 f (x) 有相同的单调性.定理4.8 若函数 f (x) 在上严格单调且连续,则反函数三、反函数的连续性函数的定义域.1. 加2. (如图所示)每一对应任给取对应请读者类似地证明该函数在端点的连续性.这就说明了上连续.对于任意的正数且严格增. 关于其它的反三角函数均可得到在定义域内连续的结论.例 因此它的反函数上也是连续严格增.例连续且严在上亦为连续且格增, 那么其反函数三、初等函数的连续性我们已经知道以下函数在定义域内是连续的(i) 常值函数; (vi) 对数函数.(v) 指数函数;(iv) 幂函数;(iii) 反三角函数;(ii) 三角函数;以上六种函数称为基本初等函数. 因为连续函数由上面的分析, 我们得到如下结论：定义 由基本初等函数经过有限次四则运算与复上是连续的. 合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在）的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面合运算所产生的函数称为初等函数. 例 求极限定理 初等函数在其有定义的区间上是连续的. 解 因为是初等函数, 所以在 处连续,从而例 据理说明不是初等函数.解 因为是的定义区间上的点, 而所以 在 处不连续. 因此函数 不是初等函数.。