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Day 6 -高中数学知识易错点梳理六、 导数及其应用易错点 1．误解导函数与单调区间的关系【例 1】f ¢(x) 是 f (x) 在区间[a, b]的导函数，则“在区间(a, b)内 f ¢(x) > 0”是“ f (x) 在该区间内单调递增” 的 条件．【错解】充要【错因】一般地，由 f ¢(x) > 0 能推出 f (x) 为增函数，反之，则不一定．如函数 f (x) = x3 在区间(-¥, +¥) 上单调递增，但是 f ¢(x) ³ 0 ，因此 f ¢(x) > 0 是函数 f (x) 为增函数的充分不必要条件．【正解】充分不必要【跟踪训练】若函数 f (x) = ax3 - x 在 R 上为减函数，求实数的取值范围．【解析】由 f ¢(x)=3ax2 -1 £ 0 在 R 上恒成立，∴当 a = 0 时， f ¢(x) = -1 < 0 ，满足题意；ì a < 0î当 a ¹ 0， íD = 12a < 0综上所述， a £ 0 ．，解得 a < 0 ．易错点 2 ．误解“导数为 0”与“有极值”的逻辑关系【例 2】 函数 f (x) = x3 + ax2 + bx + a2 在 x = 1处有极值 10，求 a, b 的值．【错解】由 f (1) = 10, f ¢(1) = 0解得 a = 4, b = -11或a = -3, b = 3．【错因】对“导数为 0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把 f (x0 ) 为极值的必要条件当作充要条件．í【正解】 f ¢(x) = 3x2 + 2ax + b ，依题意得 ì f (1) = 10，解得 ìa = 4ìa = -3或 ，îîí f ¢(1) = 0 îb = -11íb = 3íìa = 4当îb = -11时， f ¢(x) = 3x 2 + 8x -11 = (3x +11)(x -1) ，所以 f (x) 在 x = 1处取得极值；íb = 3当ìa = -3 时， f ¢(x) = 3x2 - 6x + 3 = 3(x -1)2 ，此时 f (x) 在 x = 1无极值．î所以 a = -3, b = 3 ．易错点 3．对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚【例 3】 已知函数 f（x）的导函数 f ¢(x)的图像如左图所示，那么函数 f (x)的图像最有可能的是【错解】选 B, C, D【错因】概念不清，凭空乱猜【正解】由导函数的图像，可得：当 x Î (- ¥,-2)U (0,+¥)时， f ' (x) < 0 ，当 x Î (- 2,0)时， 且开口向下；则 f (x) 在(- ¥,-2)上递减，在(- 2,0)上递增，在(0,+¥)递减；故选 A．f ' (x) > 0 ，【跟踪训练】函数 y = f (x)的导函数 f ¢( x) 的图象如右图所示，则 函数 y = f (x)的图象可能是（ ）【解析】试题分析：由图像可知导数值先正后负，所以原函数先增后减，只有 D 符合．易错点 4 ．遗忘复合函数求导公式【例 4】函数 y = x × e1-cos x【错解】 y¢ = e1-cos x的导数为 ．【错因】遗忘复合函数求导公式，复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变 量对自变量的导数，即 yx¢ = yu¢ × ux¢．【正解】 y¢ = e1-cos x + x (e1-cos x )¢ = e1-cos x + xe1-cos x (1- cosx )¢= e1-cos x + xe1-cos x sin x = (1 + x sin x)e1-cos x易错点 5．切线问题中忽视切点的位置致错【例 5】已知曲线 f (x) = 2x3 - 3x ，过点 M (0, 32) 作曲线 f (x) 的切线，求切线方程．【错解】由导数的几何意义知 k = f ¢(0) = -3 ，所以曲线的切线方程为 y = -3x + 32 ．【错因】点 M (0, 32) 根本不在曲线上，忽视切点位置致错．0 0 0【正解】设切点坐标为 N (x , 2x3 - 3x ) ，则切线的斜率 k =f ¢(x ) = 6x2 - 3，0 00故切线方程为 y = (6x2 - 3)x + 32 ，又因为点 N 在切线上，0 0所以 2x3 - 3x= (6x2 - 3)x+ 32 ，0 0解得 x0 = -2 ，所以切线方程为 y=21x+32．注意：导数的几何意义是过曲线上该点的切线的斜率，应注意此点是否在曲线上．【跟踪训练】已知函数 f (x) = x3 + bx 2 + ax + d 的图象过点 P（0，2），且在点 M（－1，f（－1））处的切线方程为6x - y + 7 = 0 ，求函数 y =f ( x) 的解析式；【解析】由 f (x) 的图象经过 P（0，2），知 d=2，所以 f (x) = x3 + bx 2 + cx + 2,f ¢(x) = 3x 2 + 2bx + c.由在 M (-1, f (-1)) 处的切线方程是6x - y + 7 = 0 ，知- 6 - f (-1) + 7 = 0,即f (-1) = 1, f ¢(-1) = 6. \ ì3 - 2b + c = 6,ì2b - c = 3,故所求的解í- 1 + b - c + 2 =即í - c = 0, 解得b = c = -3.î 1. îb析式是 f (x) = x3 - 3x 2 - 3x + 2.易错点 6．混淆极值与最值是两个不同的概念致错【例 6】求函数 f (x) = x3 - 2x 2 + x 在[－3，3]上的最值．【错解】 f ¢( x) =3x2－4x+1=（3x－1）（x－1）， 所以极值点为 x = 1或 x = 1 ，3又 ∵ f (1)=0， f (1) = 4 ．3 274所以函数最大值为27，最小值为 0．【错因】需注意在闭区间上的最值应是区间内的极值点的值与闭区间端点的值进行比较而得，而不能简单地把极值等同于最值．【正解】 f ¢( x) =3x2－4x+1=（3x－1）（x－1）， 所以极值点为 x = 1或 x = 1 ，3又 ∵ f (1)=0， f (1) = 4 ，3 27f (-3) = -48, f (3) = 12.所以函数最大值为 12，最小值为－48．易错点 7．用错恒成立的条件【例 7 】 已知函数 f (x) = x2 + ax + 3 - a 若 x Î[-2, 2]时， f (x) ≥0 恒成立，求的取值范围．【错解一】Q f (x) ³ 0 恒成立，∴△＝ a2 - 4(3 - a) ≤0 恒成立解得的取值范围为 -6 £ a £ 2；【错解二】∵ f (x) = x2 + ax + 3 - a 若 x Î[-2, 2]时， f (x) ≥0 恒成立，ì f (-2) ³ 0î∴ í f (2) ³ 0ìï(-2)2 - 2a + 3 - a ³ 0î，即 íï22 + 2a + 3 - a ³ 0， 解得的取值范围为 -7 £ a £ ．73【错因】对二次函数 f (x) ＝ ax2 + bx + c “当 x Î R 上 f (x) ≥0 恒成立时，△≤0”片面理解为“ ax2 + bx + c ≥0 ，ì f (-2) ³ 0îx Î[-2, 2]恒成立时，△≤0” ；或者理解为í f (2) ³ 0．这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误．二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论．【正解】设 f (x) 的最小值为 g (a) ，（1）当 - a < -2 ，即＞4 时， g (a) ＝ f (-2) ＝7－3≥0，得 a £ 7 故此时 a 不存在；2 3a æ 1 ö2 23（2）当 - Î[-2, 2]，即－4≤ a ≤4 时， g(a) = 2ç a - ÷ + ³ 0 恒成立,故－4≤ a ≤4；2 è 4 ø 8（3） - a > 2，即 a ＜－4 时， g (a) ＝ f (2) ＝7＋ a ≥0，得 a ≥－7，又 a ＜－4，2故－7≤ a ＜－4；综上，得－7≤ a ≤2．。