概率论与数理统计03-第三章作业及答案.doc

习题3-11. 已知随机变量X1和X2的概率分布分别为X1-101PX201P而且. 求X1和X2的联合分布律. 解 由知. 因此X1和X2的联合分布必形如 X2X101pi·-1P1100P21P221P310p·j1于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X1和X2的联合分布律 X2X101pi·-100010p·j1(2) 注意到, 而, 所以X1和X2不独立.2. 设随机变量(X,Y)的概率密度为求: (1) 常数; (2) ; (3) ; (4) .解 (1) 由, 得,所以 .(2) .(3)   .(4) 作直线, 并记此直线下方区域与的矩形区域的交集为. 即≤.见图3-8. 因此≤                                      .图3-8 第4题积分区域3. 二维随机变量的概率密度为试确定, 并求. 解 由,解得.因而 .4. 设二维随机变量(X, Y)概率密度为求关于X和Y边缘概率密度. 解 的概率密度在区域≤≤,≤≤外取零值.因而, 有5. 假设随机变量在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量 试求：(1) X和Y的联合概率分布；(2)≤.解 (1) 见本章第三节三(4). (2)≤.习题3-21. 设(X, Y)的分布律为YX123410.100.1020.300.10.2300.200求: (1) 在条件X=2下Y的条件分布律; (2) .解 (1) 由于,所以在条件X=2下Y的条件分布律为,,,,或写成1234(2) 注意到≤.而 .因此.2. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为求：(1) (X, Y)的边缘概率密度；(2)解 (1) 当时,;当x≤0时或x≥1时, . 故 当00), 试求随机变量和Z=X+Y的概率密度.解 已知X和Y的概率密度分别为, ; .由于X和Y相互独立, 所以=.4. 设随机变量X和Y的联合分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3, 1≤y≤3}上的均匀分布, 试求随机变量U=|X-Y|的概率密度f(u).解 由题设知, X和Y的联合概率密度为记为U的分布函数, 参见图3-7, 则有当u≤0时,≤u}=0; 当u≥2时,; 当0< u<2时, 图3-7 第8题积分区域.故随机变量的概率密度为.总习题三1. 设随机变量(X, Y)的概率密度为求条件概率密度.解 首先 图3-9第1题积分区域当时, 当≤时, 当时, 2. 设随机变量X与Y相互独立, 下表列出二维随机变量的分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中部分数值, 试将其余数值填入表中空白处 .XYx1x2y1y2y31解 首先, 由于,所以有 .在此基础上利用X和Y的独立性, 有.于是 . 再次, 利用X和Y的独立性, 有.于是 . 最后, 利用X和Y的独立性, 有 ;;.因此得到下表 XYx1x2y1y2y313. 设随机变量的概率密度为(1) 求常数k；(2) 求(X,Y)的分布函数；(3) 计算;(4) 计算；(5) 问随机变量X与Y是否相互独立?解 (1)由,可得.(2) (X,Y)的分布函数.当≤或≤时,有 ; 当时, .即 (3) . (4) 所以 类似地, 有 显然, 故X与Y相互独立.4.解 已知的分布律为XY12310230注意到, 而,可见P{X=1, Y=1}≠P{X=1}P{Y=1}. 因此与不相互独立. (2) 的可能取值为3, 4, 5, 6, 且,     ,.即的分布律为Z345P(3) 的可能取值为2, 3, 且,.即的分布律为V23P(4) 的可能取值为1, 2, 且,.即的分布律为U12P(5) 的可能取值为3, 4, 5, 且, ,.W345P5. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为(1) 求P{X>2Y}; (2) 求Z = X+Y的概率密度fZ(z).解 (1) .(2) 方法一: 先求Z的分布函数: .当z<0时, FZ(z)<0;当0≤z<1时,  = z2-z3;当1≤z<2时,  = 1-(2-z)3;当z≥2时, FZ(z) = 1.故Z = X+Y的概率密度为方法二: 利用公式 当z≤0或z≥2时, fZ(z) = 0;当01}, P{Y>X}及P{Y<|X<}.解 (1) 当x≤0或y≤0时, φ(x, y) = 0, 所以 F(x, y) = 0.当02时, .当x>1, 01, y>2时,.综上所述, 分布函数为(2) 当0≤x≤1时,故 当0≤y≤2时,故 (3) 当0≤y≤2时, X关于Y = y的条件概率密度为当0≤x≤1时, Y关于X = x的条件概率密度为(4) 参见图3-10. 图3-10 第9题积分区域 图3-11 第9题积分区域 同理, 参见图3-11. 。