对称变换与实对称矩阵的对角化.pdf

§§9.6 对称变换与对称矩阵对称变换与对称矩阵第九章 欧几里得空间第九章 欧几里得空间§§9.6 对称变换与对称矩阵对称变换与对称矩阵一、对称变换的定义与性质一、对称变换的定义与性质二、实对称矩阵的对角化二、实对称矩阵的对角化第九章 欧几里得空间第九章 欧几里得空间一、对称变换的定义与性质中任一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵，则称是对称变换一、对称变换的定义与性质中任一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵，则称是对称变换σ定义定义1 设是欧氏空间的一个线性变换，如果设是欧氏空间的一个线性变换，如果VσV在在σ对称变换是欧氏空间中的另一类重要的线性变换，它应用很广本节讨论有限维欧氏空间的对称变换及其性质对称变换是欧氏空间中的另一类重要的线性变换，它应用很广本节讨论有限维欧氏空间的对称变换及其性质nR例例9.6.1 A是实对称矩阵，在维欧氏空间中定义线性是实对称矩阵，在维欧氏空间中定义线性n12,(,,,)n nAx xxRσααασααα′=∀=∈?′=∀=∈?12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)nε εεεεε===????===????由于由于σnR的标准正交基：在的标准正交基：在σ下的矩阵恰是下的矩阵恰是A，故是对称变换。

故是对称变换变换变换σ：：第九章 欧几里得空间第九章 欧几里得空间即有即有在这个基下的矩阵是：在这个基下的矩阵是：σ条件是：条件是：1212(,,,)(,,,)nnAσ σ α αα αα αα α α αα α= =????(),ijn nAa× ×= =证明：设证明：设是欧氏空间是欧氏空间V的一个标准正交基，的一个标准正交基，12,,,nα α αααα??定理定理9.6.1 n维欧氏空间维欧氏空间V的线性变换的线性变换是对称变换的充要是对称变换的充要σ ,,Vα αβ β∀∈∀∈(,)( ,)σ σα βα βα α σ σβ β= =对必对必有有Vα αβ β∀ ∀∈ ∈对对(,)( ,)σ σα βα βα α σ σβ β= =有有又又 1(),1,2,,nikik kainσ ασ αα α= =====∑ ∑??( (),),ijjiaσ σ αααα= =于是于是(, ()),ijijaα α σ ασ α= =( (),)(, ()),ijijσ σ ααααα α σ σ α α= =,1,2,, ,1,2,,jiijaainjn= =====????因此因此A是对称矩阵，是对称矩阵，σ是对称变换。

是对称变换故故第九章 欧几里得空间第九章 欧几里得空间的不同特征值的特征向量彼此正交的不同特征值的特征向量彼此正交σ证明：设证明：设是是V的一个对称变换，的一个对称变换，σ定理定理9.6.2 设设是是n维欧氏空间维欧氏空间V的一个对称变换，则属于的一个对称变换，则属于σ由于由于(,)( ,),σ σα βα βα α σ σβ β= =( ,)α α μβμβ= =于是有于是有(,)σ σα βα βσ σαλαλα ασ σβ βμ μβ β= == =λ λμ μ≠ ≠是是的特征值且的特征值且,λ λμ μσ是分别属于是分别属于的特征向量，即的特征向量，即,α αβ β,λ λμ μ故故 ,)( ,)λ λ α βα βμ μ α α β β= = ,λ λμ μ≠ ≠但但 ,α αβ β这说明这说明彼此正交彼此正交 ,)0α α β β= =故只有故只有)λ λα βα β= =( ,),λ λ α βα β= =( ,)α α σβσβ( ,),μ μ α βα β= =第九章 欧几里得空间第九章 欧几里得空间定理定理9.6.3 对称变换的特征值只能是实数对称变换的特征值只能是实数。

Aα αλαλα= =是属于是属于α α的矩阵是实对称矩阵的矩阵是实对称矩阵,A证明：设证明：设σ是是V的一个对称变换，它在某个标准正交基下的一个对称变换，它在某个标准正交基下设设是属于是属于的特征值，的特征值，λ λA的特征向量，则有：的特征向量，则有：特征值特征值λ λAλ λα αα αα αα α′ ′′ ′= =其中其中是是的共轭复数的共轭复数ixix则则1 ,nxxα α⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟= =⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠? ?令令1 ,nxxα α⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟= =⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠? ?λ λα αα αλ λα α α α′ ′′ ′= =故有故有11220nnx xx xx xα α α α′ ′= =+++++ +≠ ≠??因为因为所以所以,λ λλ λ= =即即是实数λ λ对对(1)两边取共轭得：两边取共轭得：Aα αλαλα= =Aα αλαλα= = Aα αλαλα= =(1)(2) 左乘左乘(1)两边得：两边得：用用α α′ ′Aα αα α′ ′ ′ ′= =()Aα α α α′ ′= =λ λα αα α′ ′= =第九章 欧几里得空间第九章 欧几里得空间二、实对称矩阵的对角化二、实对称矩阵的对角化实对称矩阵与对称变换对应，它们都是可对角化的，并且可实对称矩阵与对称变换对应，它们都是可对角化的，并且可 用正交矩阵来实现。

用正交矩阵来实现定理定理9.6.4 设设A为为n阶实对称矩阵，则存在阶实对称矩阵，则存在n阶正交矩阵阶正交矩阵T，， 使使1 12(,,,),nTATT ATdiagλ λ λλλλ− −′ ′====??全部特征值（重根按重数计算）全部特征值（重根按重数计算）其中其中12,,,nλ λ λλλλ??为为A的的σ σ证明：设证明：设A为对称变换为对称变换在标准正交基下的矩阵，在标准正交基下的矩阵，由实对称由实对称成的标准正交基即可成的标准正交基即可矩阵和对称变换的关系，只要证明对称变换矩阵和对称变换的关系，只要证明对称变换σ σ有有n个特征向量作个特征向量作 nR对空间对空间的维数的维数n用归纳法证明用归纳法证明 时，结论显然成立时，结论显然成立1n= =当当 1n− −假设结论对假设结论对维空间成立维空间成立nR则对则对n维空间维空间线性变换线性变换 σ σ有一单位特征向量有一单位特征向量1,α α其相应的特征值为其相应的特征值为1,λ λ即有即有1111(), || 1σ σ αλαλ α αα α= == =第九章 欧几里得空间第九章 欧几里得空间11(),VLα α=令则=令则1V 是不变子空间。

作是不变子空间作1V 的正交补空间的正交补空间1,V⊥ ⊥111, dim1nVVRVn⊥⊥⊥⊥⊕ ⊕==−==−1(() ,)(,)Vσ σα βσα βα βσα β⊥ ⊥= =( ,)α α σβσβ= =1,,Vα βα β⊥ ⊥∀∈∀∈对对1( ,() )Vα α σβσβ⊥ ⊥= =故故1Vσ σ⊥ ⊥ 1V⊥ ⊥是上的对称变换由归纳假设知是上的对称变换由归纳假设知1Vσ σ⊥ ⊥有有n－－1 个个23,,,nα α αααα??特征向量构成特征向量构成1V⊥ ⊥的一个标准正交基于是，的一个标准正交基于是，123,,,,nα α α ααα αα??就是就是V的一个标准正交基令的一个标准正交基令12(,,,),nTα α αααα= =??则则T是正交矩阵又是是正交矩阵又是V的个特征向量，设其对应的个特征向量，设其对应12,,,nα α αααα??的特征值分别是的特征值分别是12,,,,nλ λ λλλλ??故故 1 12(,,,)nTATT ATdiagλ λ λλλλ− −′==?′==?由定理由定理9.6.4知知1V⊥ ⊥也是的不变子空间即有也是的不变子空间即有σ σ考虑线性变换的限制：考虑线性变换的限制：1Vσ σ⊥ ⊥第九章 欧几里得空间第九章 欧几里得空间0111 101 1,11 01 1 110A−⎛⎞ ⎜⎟−=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠−⎛⎞ ⎜⎟−=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠例例9.6.2 设求一正交矩阵设求一正交矩阵T，使，使T AT′ ′成对角形。

解：先求成对角形 解：先求A的特征值的特征值 11 1 111 1 11 111EAλ λλλλ λλλ λ λ−−−− − −−−=−−=− −− −−− −−2011 1 0101 0011 111λ λλλ λλ λλλλ λλ λλ λ λ−−−−−− − −−=−=− −− −−− −−211 1 101 011λ λλλ λλ λλλλ λλ λλ−−−−−− = = −−−−−− − −− −31 11 (1) 1 01 0 11λ λλ λ− −− = −−− = −−3(1) (3)λλλλ=−+=−+11λ λ= =故故A的特征值是：（三重），的特征值是：（三重），23λ λ= = − −第九章 欧几里得空间第九章 欧几里得空间()0EA X− −= =111 1 1 111 1 111 111 1EA−−⎛⎞ ⎜⎟−−⎛⎞ ⎜⎟− −−−=⎜⎟−−=⎜⎟− −−⎜⎟−−⎝⎠∵−⎜⎟−−⎝⎠∵123( 1,1,0,0) ( 1,0,1,0) ( 1,0,0,1)α α αα α α′ ′=⎧⎪=⎧⎪′ ′=⎨=⎨′ ′= −⎪⎩= −⎪⎩111 1 0 00 0 0 00 0 0 00 0−−⎛⎞ ⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠−−⎛⎞ ⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠11λ λ= =其次求属于的特征向量，即求齐次线性方程组：的基础解系。

原方程组的基础解系是：正交化得：其次求属于的特征向量，即求齐次线性方程组：的基础解系原方程组的基础解系是：正交化得：⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩11(1,1,0,0)β βα α′ ′= == =21 221 11(,)11(,,1,0)(,)22αββαβββαββαβββ′ ′=−=−=−=−3132 3312 1122(,)(,)1 1 1(,,,1)(,)(,)3 3 3α αβαββαβββββββαββαββββββ′=−−= −′=−−= −第九章 欧几里得空间第九章 欧几里得空间再单位化得：再单位化得：1 1 111(,,0,0)||22βηββηβ′ ′====2 2 2112(,,,0)||666βηββηβ′ ′==−==−3 3 31113(,,,)||12121212β βηβηβ′ ′== −== −⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩这是属于三重特征值这是属于三重特征值11λ λ= =的三个标准正交的特征向量的三个标准正交的特征向量23λ λ= = − −再求属于的特征向量，即求齐次线性方程组：再求属于的特征向量，即求齐次线性方程组： ( () )30EA X− −−=−=的基础解系。

的基础解系 311 1 131131 131 1113EA−−−⎛⎞ ⎜⎟−−−⎛⎞ ⎜⎟− −−−−−=⎜⎟−−−−=⎜⎟− −−−⎜⎟−−⎜⎟− −−−⎝⎠∵−−⎝⎠∵4444 1311 1 131 1113− −−−−⎛⎞ ⎜⎟−−−⎛⎞ ⎜⎟− −−−→⎜⎟−−→⎜⎟− −−−⎜⎟−−⎜⎟− −−−⎝⎠−−⎝⎠ 1111 0220 0220 0202⎛⎞ ⎜⎟−→⎜⎟−⎜⎟⎛⎞ ⎜⎟−→⎜⎟−⎜⎟− −−⎝⎠−⎝⎠1 0 01 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0− −⎛⎞ ⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞ ⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠第九章 欧几里得空间第九章 欧几里得空间4(1, 1, 1,1) ,α α′ ′= =−−−−求得基础解系是：求得基础解系是：4111 1(,,, )222 2η η′ ′=−−=−−单位化后得：单位化后得：12341/21/61/121/2 1/21/61/121/2(,,,)02/61/121/2 003/121/2Tη η η ηη η η η⎛⎞−⎜⎟−−== ⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞−⎜⎟−−== ⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠1234,,,η。