数学分析第三章 极限与函数的连续性03.ppt

一、概念一、概念: :定义定义 3.73.7连续,连续点§§4 4 函数的连续性函数的连续性 在在 连续连续定义定义 3.73.7’’（单侧连续）左连续；右连续若若定义定义 3.83.8注注: : 在定义域上连续的函数称为连续函数.例例1 1证证二、连续函数的四则运算二、连续函数的四则运算设则（1）（这里为常数）;（2）（3）三、复合函数的连续性三、复合函数的连续性定理定理 3.14三、不连续点的类型三、不连续点的类型不连续点的分类① 第一类不连续点 (跳跃间断点) 　　　　 跃度 跳跃间断点 例例: : 符号函数1-1x xy yo o 是第一类间断点② 第二类间断点 　　　　 例例: : 狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R R内每一点处都间断内每一点处都间断, ,且都是第二类间且都是第二类间断点断点. .③ 可去间断点 　　　　例例解：解：如上例中,初等函数的连续性定理定理3.15 一切初等函数在其定义域上都是连续的.（1） 三角函数.反三角函数和对数函数是三角函数和指数函数的反三角函数和对数函数是三角函数和指数函数的反函数，我们将用反函数的连续性定理来证明它反函数，我们将用反函数的连续性定理来证明它们的连续性们的连续性。

为此我们需要闭区间上连续函数的为此我们需要闭区间上连续函数的介值定理为证明它，我们先证明区间套定理介值定理为证明它，我们先证明区间套定理2） 指数函数.设一组实数的闭区间序列 (i)满足： (ii)则 构成一个区间套 （区间套定理）设 是一个区间套， 则必存在唯一的实数r,使得r属于所有闭区间 即 且 证明：证明：用单调有界原理证明区间套定理：定理3.17 连续函数介值定理 若 在 连续， 则存在 ，使得 证明： 用区间套定理记用二等分，若，则定理证完否则，若则取；若 则取 用 二等分 ，…… 如此继续下去， 得一区间套 ，满足 根据区间套定理， 知存在 ，有 由 在 r 连续，知 故 定理证完 反函数的连续性反函数的连续性定理定理3.18 3.18 (反函数存在、连续性定理)（3） 反三角函数.应用反函数连续性定理，继续证明定理应用反函数连续性定理，继续证明定理3.15反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续. .（4） 对数函数.（5） 幂函数.总结总结 初等函数的连续性一切初等函数在其定义域上都是连续的.注：注：一般可用函数的连续性用代入法求极限。

§5无穷小量与无穷大量的比较一、无穷小量的比较一、无穷小量的比较（一）无穷小量定义定义 1（二）无穷小量的比较极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限① 高阶无穷小量 　　　　② 同阶无穷小量 　　　　③ 等价无穷小量 　　　　定义定义定理定理 1 1常用的等价无穷小常用的等价无穷小: :（三）无穷小量的阶:（四）无穷小量的性质:问题问题: :任何两个无穷小都可以比较吗？任何两个无穷小都可以比较吗？不一定．不一定． 例当例当 时时都是无穷小量，都是无穷小量，故当故当 时时, ,二、无穷大量的比较二、无穷大量的比较（一）无穷大量定义定义 2 2（二）无穷大量的比较① 高阶无穷大量 　　　　② 同阶无穷大量 　　　　③ 等价无穷大量 　　　　定义定义定理定理 2 2内容小结内容小结1. 数列极限的 “  – N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则柯西准则4. 函数极限的或定义及应用5. 函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理6. 无穷小量与无穷大量的定义7. 无穷小量与函数极限的关系8. 无穷小量与无穷大量的关系9. 无穷小量的比较设  ,  对同一自变量的变化过程均为无穷小, 且 是  的高阶无穷小 是  的低阶无穷小 是  的同阶无穷小 是  的等价无穷小 是  的 k 阶无穷小在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当时,使必存在上有界;在在习题习题1. 设函数提示提示:在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .有第二类间断点及可去间断点解解:为第二类间断点,所以为可去间断点 ,极限存在2. 设函数试确定常数 a 及 b .3. 求下列极限：提示提示: 无穷小有界令～～5. 当时,是的几阶无穷小?解解: 设其为的阶无穷小,则因故补充题补充题1. 求解解: 令则利用夹逼准则可知 2. 求解:原式 = 1 (2000考研)证证:3. 证明: 若 令对任意当时, 有又根据有界性定理,, 使取则在内连续,存在, 则必在内有界.。