人教A版高中数学必修二浙江专版学案：3.2直线的方程 含答案.doc

2019版数学精品资料（人教版）3.2　3．2.1　直线的点斜式方程　预习课本P92～94，思考并完成以下问题 1．确定直线的几何要素是什么？ 2．直线的点斜式方程是怎样推导的？ 3．直线的点斜式方程与斜截式方程的结构形式分别是什么？ 4．直线的纵截距是怎样定义的？ 　　1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.　[点睛]　经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类：①斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)；②斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[点睛]　(1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在．(2)纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1,3)(　　)(2)对于直线y＝2x＋3在y轴上截距为3(　　)(3)直线的点斜式方程也可写成＝k(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)×2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　)A．y＋3＝x－2　　　　　 B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3解析：选A　∵直线l的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线l的方程为y＋3＝x－2.3．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．解析：∵直线y＝－3x－4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2.答案：y＝－3x＋2直线的点斜式方程[典例]　已知点A(3,3)和直线l：y＝x－.求：(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程．[解]　因为直线l：y＝x－，所以该直线的斜率k＝.(1)过点A(3,3)且与直线l平行的直线方程为y－3＝(x－3)．(2)过点A(3,3)且与直线l垂直的直线方程为y－3＝－(x－3)．利用点斜式求直线方程的方法(1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标．注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程；(2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程．[活学活用]1．直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程．解：直线y＝x＋1的斜率k＝1，∴倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，∴直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1.又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．2．已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求直线AB的点斜式方程．解：因为A(－1,2)，B(m,3)，当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，没有点斜式方程；当m≠－1时，直线AB的斜率k＝，直线AB的点斜式方程为y－2＝(x＋1).直线的斜截式方程[典例]　根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.[解]　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)由于倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2.(3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线方程．解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝.∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，∴所求直线的方程为y＝x－5.利用直线的斜截式方程判断两直线位置关系[典例]　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？[解]　(1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，∵l1∥l2，∴解得a＝－1.故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．(2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．对于不能用斜截式方程表示的直线，判断它们的位置关系时，需注意：(1)若两条直线的斜率均不存在，则有l1∥l2或l1与l2重合．(2)若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则有l1⊥l2.(3)若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在但不为0，则两条直线既不平行也不垂直．[活学活用]1．已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________.解析：由题意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1.答案：－12．若直线l1：y＝－x－与直线l2：y＝3x－1互相平行，则a＝________.解析：由题意可知解得a＝－.答案：－层级一　学业水平达标1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1解析：选C　直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为(　　)A．y＝x＋2　　　　　　 B．y＝－x＋2C．y＝－x－2 D．y＝x－2解析：选D　直线的倾斜角为60°，则其斜率为，利用斜截式得y＝x－2.3．直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为(　　)A．a＋b B．2a－bC．b－2a D．|2a－b|解析：选C　由y－b＝2(x－a)，得y＝2x－2a＋b，故在y轴上的截距为b－2a.4．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为(　　)A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1C．y＝3x－3 D．y＝x＋1解析：选A　将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得到的直线为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.5．若两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于(　　)A．2 B．1C．0 D．－1解析：选B　由a＝2－a，得a＝1.6．设a∈R，如果直线l1：y＝－x＋与直线l2：y＝－x－平行，那么a＝________.解析：由l1∥l2得－＝－且≠－，解得a＝－2或a＝1.答案：－2或17．直线y＝x－4在y轴上的截距是________．解析：由y＝x－4，令x＝0，得y＝－4.答案：－48．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标是________．解析：将直线方程化为点斜式得y－3＝k(x－2)，∴过定点(2,3)．答案：(2,3)9．求满足下列条件的m的值．(1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行；(2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直．解：(1)∵l1∥l2，∴两直线斜率相等．∴m2－2＝－1且2m≠1，∴m＝±1.(2)∵l1⊥l2，∴2m－1＝.∴m＝.10．直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．解：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.令y＝0得，x＝.由三角形的面积为2，得××2＝2.解得，k＝.可得直线l的方程为y－2＝(x－2)，综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝(x－2)．层级二　应试能力达标1．过点(－1,3)且平行于直线y＝(x＋3)的直线方程为(　　)A．y＋3＝(x＋1)　　　　 B．y＋3＝(x－1)C．y－3＝(x＋1) D．y－3＝(x－1)解析：选C　由直线y＝(x＋3)，得所求直线的斜率等于，其方程为y－3＝(x＋1)，选C.2．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是(　　)解析：选D　对于A选项，由l1得a>0，b<0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于B选项，由l1得a<0，b>0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于C选项，由l1得a>0，b<0，而由l2得a<0，b>0，矛盾；对于D选项，由l1得a>0，b>0，而。