【知识】第一节模糊数学基本知识数学建模.docx

学习必备 欢迎下载第一节 模糊数学基本学问一、模糊子集及其运算在经典集合论中，一个元素对于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一， 绝不答应模棱两可； 这一要求就从根本上限定了以经典集合论为基础的常规数学方法的应用范畴， 它只能用来争论那些具有肯定明确的界限的事物和现象；但是，在现实世界中，并非全部事物和现象都具有明确的界限；譬如，“高与矮”，“好与坏”，“美与丑”， ，这样一些概念之间就没有肯定分明的界限；严格说来，这些概念就是没有肯定的外延，这些概念被称之为模糊概念， 它们不能用一般集合论来描述，而需要用模糊集合论去描述；〔 一〕 模糊子集及其表示方法1. 模糊子集〔1〕 隶属函数：在经典集合论中，一个元素 x 和一个集合 A 之间的关系只能有 x A 或者 x A 这两种情形； 集合可以通过其特点来刻划， 每一个集合 A 都有一个特点函数 CA〔x〕 ，其定义如下：〔1〕 式所表示的特点函数的图形，如图 9-1 所示；由于经典集合论的特点函数只答应取 0 与 1 两个值，故与二规律值｛ 0，1｝相对应；模糊数学是将二值规律｛ 0，1｝拓广到可取 [0 ，1] 闭区间上任意的无穷多个值的连续值规律；因此， 也必需把特点函数作适当的拓广，这就是隶属函数 μ 〔x〕 ，它满意：0≤ μ 〔x〕 ≤1 〔2〕(1) 式也可以记作 μ〔x〕 ∈[0 ， 1] ，一般情形下，其图形如图 9-2 所示；(2) 模糊子集的定义： 1965 年，查德首次给出了模糊子集的如下定义：设 U 是一个给定的论域 〔 即争论对象的全体范畴 〕 ，μ A：x→[0 ，1] 是 U到[0 ， 1] 闭区间上的一个映射，假如对于任何 x∈ U，都有唯独的 μ A〔x〕 ∈[0 ，1] 与之对应，就该映射便给定了论域 U上的一个模糊子集 ，μA 称做 的隶属函数， μ A〔x〕称做 x 对 的隶属度；学习必备 欢迎下载2. 模糊子集的表示方法通过上述关于模糊子集的定义可以看出， 一个模糊子集完全由其隶属函数所刻划；因此，模糊子集通常有以下几种表示方法：=[ μ1，μ 2， ， μn] 〔3〕在〔3〕 式中， μi ∈[0 ， 1]〔i=1 ，2， ， n〕 为第 i 个元素 xi 对 的隶属度；(2) 查德表示方法：①假如论域 U是有限集时，采纳查德记号可以将模糊子集 表示为：应当留意，〔4〕 式的记号决不是分式求和， 而只是一个记号而已， 其“分母” 表示论域 U中的元素，“分子”是相应元素的隶属度，当隶属度为 0 时，那一项可以不写入；②假如论域 U是无限集时，采纳查德记号可以将模糊子集 表示为：在〔5〕 式中，“积分号”不是一般的积分，也不代表求和，而是表示各个元素与其隶属度对应关系的一个总括；(3) 假如给出了论域 U上的模糊子集 的隶属函数的解析表达式， 就也就表示出了模糊子集 ；〔 二〕 模糊子集的运算及其性质1. 模糊子集的运算论域 U上两个模糊子集 和 B 之间的相等、包含关系及并、交、补运算，分别规定如下：学习必备 欢迎下载上述记号“∨”和“∧”是运算符号，简称为算子，“∨”表示取最大值， “∧”表示取最小值2. 模糊子集运算的基本性质对于模糊子集的运算，它具有如下几个基本性质；〔1〕 幂等律： ∪=，A∩A=A〔2〕 交换律： ∪ = ∪ ， ∩ = ∩学习必备 欢迎下载二、模糊子集的 α - 截集及其性质〔 一〕 模糊子集的 α - 截集定义：设 是论域 U上的一个模糊子集，其隶属函数为 μ A， x 对 的隶属度为 μA〔x〕 ；对于任 - α ∈[0 ， 1] ，称集合α =｛x｜μA〔x〕 ＞ α， x∈U 〔6〕为 的强 α- 截集；称集合为 的弱 α- 截集；有时也将强 α - 截集与弱 α- 截集统称为 α- 截集；〔 二〕 模糊子集的 α - 截集的性质模糊子集的 α- 截集，具有下述几个基本性质：〔2〕 对于任意 α∈［ 0， 1］，都有：〔3〕 对于任意 α∈［ 0， 1］，都有：〔4〕 对于任意 α∈[0 ， 1] ，都有：学习必备 欢迎下载三、模糊关系与模糊变换〔 一〕 模糊关系1. 模糊关系的概念模糊关系， 是一般关系的推广，其定义如下：设 U 和 V 是两个一般集合， U 与 V 的直积UV=｛ 〔x ，y〕 ｜x∈U，y∈V｝就称μ R〔x，y〕 为 x 与 y 具有关系 R 的程度；一般地， μ R〔x，y〕 也可以记为 R〔x,y〕 ；特殊地，当 U=V时，就称 R为 U中的模糊关系；当 U 和 V 为有限集合时，模糊关 系 R可以用矩阵表示为：在〔9〕 式中， r ij =μR〔x i ，yj 〕 ，r ij ∈ [0 ，1] ，i=1 ，2， ， m；j=1 ，2， ， n；m为 U 中所含元素的个数， n 为 V 中所含元素的个数； 〔8〕 式所示的矩阵称为模糊关系矩阵，简称模糊矩阵；由于模糊关系就是集合 U与 V 的直积 UV上的模糊子集，所以它的相等、包含、并、交、补等运算与模糊子集的概念和运算性质完 全相同，这里不再作重复；下面介绍 U中几个重要的特殊关系；(1) 恒等关系 I ：(2) 零关系 O：2. 模糊关系的合成及其性质(1) 模糊关系的合成学习必备 欢迎下载W上的模糊关系，其隶属函数为：(2) 模糊关系合成的基本性质3. 模糊相像关系与模糊等价关系(1) 模糊相像关系学习必备 欢迎下载糊相像关系；(2) 模糊等价关系∈U， V[ μ R〔x，z〕 ∧ μR〔z，y〕] ≤ μR〔x，y〕 ，就称 R为 U中的模糊等价关系；〔 二〕 模糊变换在〔10〕 式中， 0≤rij ≤1〔i=1 ，2， ， m；j=1 ， 2， ， n〕 ； 是一个给定的模糊向量=[a 1， a2 ， ， am] 〔11〕在〔11〕 式中， 0≤ai ≤1〔i=1 ， 2， ， m〕；就称 与 的合成运算为模糊变换；明显，在 〔12〕 式中，有 0≤bj ≤1〔j=1 ， 2， ， n〕 ；。