高等工程数学5Jordan标准形Win7.ppt

0/28§1 §1 方阵的相似对角化方阵的相似对角化§2 §2 Jordan标准形标准形§3 §3 凯莱凯莱- -哈密顿定理和最小多项式哈密顿定理和最小多项式1/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形问题问题分析：分析：具有简单形式的矩阵具有简单形式的矩阵 若方阵若方阵 A 不可对角化，那么在相似变不可对角化，那么在相似变换下，换下， 的最简形式是什么？的最简形式是什么？分块对角阵分块对角阵上三角阵上三角阵分块对角阵分块对角阵上三角分块对角阵上三角分块对角阵 Jordan 标准形是一种最简标准形是一种最简结构的上三角分块对角阵结构的上三角分块对角阵.2/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形定义定义定义定义为为 Jordan 块块. 称如下形式的称如下形式的 阶方阵阶方阵称称为为子子 Jordan 矩阵矩阵，其中各，其中各 为为 Jordan 块块. 3/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形称称为为 Jordan矩阵矩阵，其中各，其中各 为子为子 Jordan 阵阵. 4/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形例例例例 11以上矩阵为以上矩阵为 Jordan 块块. 按上述定义指出下列矩阵的类型：按上述定义指出下列矩阵的类型：以上矩阵为子以上矩阵为子 Jordan 阵阵.以上矩阵为以上矩阵为 Jordan 阵阵.?5/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形定义定义定义定义 若若 阶方阵阶方阵A相似于相似于 Jordan 阵，即存在可逆阵，即存在可逆阵阵P 使得使得其中其中 为为 Jordan 阵，则称阵，则称 J 为为 A的的 Jordan 标准形标准形. 问问任意方阵是否都存在任意方阵是否都存在 Jordan 标准形标准形？？ 下面分析一个不可对角化的三阶方阵化下面分析一个不可对角化的三阶方阵化 Jordan 标准形的问题标准形的问题.6/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形例例例例 22 设设 ，特征值为，特征值为 ，代数重数为，代数重数为3，，几何重数为几何重数为2 .例例例例 33 求求的的 Jordan 标准形及相似变换矩阵标准形及相似变换矩阵.7/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形一般地：一般地： 设设 是是A的任一特征值，代数重数为的任一特征值，代数重数为 ，，几何重数为几何重数为 ，则，则A 的的 Jordan 标准形中对应一标准形中对应一个如下的子个如下的子Jordan 阵：阵：个基本个基本个基本个基本 Jordan Jordan 块块块块主对角元均为主对角元均为主对角元均为主对角元均为8/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形定理定理定理定理 设设 的全部互异的特征值为的全部互异的特征值为代数重数分别为代数重数分别为几何重数分别为几何重数分别为其中其中 是主对角元为是主对角元为 的的 阶子阶子 Jordan 阵，且包阵，且包含含 个个 Jordan 块块则则A相似于一个相似于一个 Jordan 阵，即存在可逆阵阵，即存在可逆阵 使得使得 9/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形例例例例 44 设设求可逆阵求可逆阵 P 使得为使得为 为为 Jordan 阵阵.怎样直接确定一个方阵的怎样直接确定一个方阵的 Jordan 标准形标准形？？10/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形 设设 阶方阵阶方阵A 的的 Jordan 标准形为标准形为为基本为基本 Jordan 块，块， 为为 的几何重数的几何重数为为A 的的 个子个子 Jordan 阵阵 故确定故确定 的的 Jordan 标准形，关键是确定标准形，关键是确定A的的全部互异特征值和每个基本全部互异特征值和每个基本 Jordan 块块11/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形阶方阵阶方阵A的的 k 级子式级子式任任 列列任任 行行 称为称为A 的一个的一个k 级子式级子式 12/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形定义定义定义定义 设设 称称 为为A 的的特征矩阵特征矩阵.定义定义定义定义 阶方阵阶方阵A 的特征矩阵的特征矩阵 中所有非零的中所有非零的 级子式的首项系数为级子式的首项系数为 1 的最大公因式称为的最大公因式称为 的一个的一个 k 级行列式因子级行列式因子 也称为也称为也称为也称为 的行列式因子的行列式因子的行列式因子的行列式因子 首项指多项式的最高次项，首项指多项式的最高次项，首项系数为首项系数为1的多项式称为的多项式称为首一多项式首一多项式 13/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形例例例例 55 试求下列多项式的最大公因式试求下列多项式的最大公因式例例例例 66 求求 的的1级、级、2级行列式因子级行列式因子.14/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形从而从而设设 的的 级行列式因子为级行列式因子为级子式可展开为一系列级子式可展开为一系列 级子式的代数和级子式的代数和是每个是每个 级子式的因子级子式的因子 定义定义定义定义 称下列称下列 个多项式个多项式为为 的的不变因不变因子子. 15/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形例例例例 66求求 的行列式因子及不变因子的行列式因子及不变因子.16/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形问问怎样求方阵的行列式因子、不变因子？怎样求方阵的行列式因子、不变因子？①① 互换互换 的任意两行或两列的任意两行或两列 下列运算称为下列运算称为 的初等变换：的初等变换：②② 用非零常数用非零常数 乘乘 的某行或某列的某行或某列 ③③ 用多项式用多项式 乘乘 的某行或某列然后加的某行或某列然后加到另一行或另一列到另一行或另一列 问问三种初等变换是否会改变行列式的值？三种初等变换是否会改变行列式的值？问问初等变换是否会改变行列式因子和不变因子初等变换是否会改变行列式因子和不变因子？？行列式因子、初等因子在初等变换下是不变的行列式因子、初等因子在初等变换下是不变的.定义定义定义定义17/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形对对 进行初等变换，可将进行初等变换，可将 化为化为 Smith 标准形标准形①① 均为首一多项式均为首一多项式 ②②问问各级行列式因子、不变因子等于什么各级行列式因子、不变因子等于什么？？级行列式因子：级行列式因子：级行列式因子：级行列式因子：级行列式因子：级行列式因子：……各级不变因子为：各级不变因子为：18/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形例例例例 77 求求 的行列式因子及不变因子的行列式因子及不变因子.方法：方法：方法：方法： 对对 进行初等变换，化为进行初等变换，化为Smith标准形标准形.19/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形定义定义定义定义 将将 的每个次数大于零的不变因子在复数的每个次数大于零的不变因子在复数域内分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，域内分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂，称为的所有这些一次因式的方幂，称为的初等因子初等因子. 重复出现的项重复出现的项按次数计算按次数计算 20/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形例例例例 88 设设 的不变因子为的不变因子为则则 的全部初等因子为的全部初等因子为 相同的项相同的项相同的项相同的项出现了三次出现了三次出现了三次出现了三次 21/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形定理定理定理定理 两个同阶方阵两个同阶方阵 相似的充要条件是相似的充要条件是它们有相同的不变因子或初等因子。

它们有相同的不变因子或初等因子构造具有相同初等因子的构造具有相同初等因子的 Jordan 阵阵求出方阵求出方阵 的全部初等因子的全部初等因子则则 即为即为 A 的的 Jordan 标准形标准形求求 的的 Jordan 标准形的方法标准形的方法问题问题初等因子与初等因子与 Jordan 标准形有什么关系标准形有什么关系？？构造具有相同初等因子的构造具有相同初等因子的 Jordan 阵阵22/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形结论结论结论结论 阶阶Jordan块块初等因子为：初等因子为：23/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形定理定理定理定理 设设 的全部初等因子为的全部初等因子为其中其中 可能有相同的，指数可能有相同的，指数 也可能有相同的也可能有相同的.对每个初等因子对每个初等因子 构造一个构造一个 Jordan 块块则则 的的 Jordan 标准形为标准形为24/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形例例例例 99 求求 Jordan标准形标准形. 的全部初等因子为的全部初等因子为 的的 Jordan 标准形为标准形为25/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形的的 Jordan 标准形是否唯一标准形是否唯一？？若不计若不计 Jordan 块的排列次序，块的排列次序， 的的 Jordan 标准标准形是由形是由A 唯一确定的唯一确定的. 推论推论推论推论 阶方阵阶方阵 A 可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是 A的全的全部初等因子都是一次多项式。

部初等因子都是一次多项式26/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形例例例例 1010 设设 ，求，求P，使得，使得 为为Jordan标准形标准形. A 的的Jordan标准形为标准形为 27/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形方阵的正交相似化简方阵的正交相似化简，可相似化简为，可相似化简为 Jordan 标准形标准形若要求若要求 为酉为酉( (正交正交) )矩阵，最简结果是什么？矩阵，最简结果是什么？ ，存在酉矩阵，存在酉矩阵 ，使得，使得 其中其中 是是 A 的的 n个特征值个特征值.(上三角阵上三角阵)定理定理定理定理 (Schur(Schur定理定理定理定理))28/28§1 Jordan §1 Jordan 标准形标准形推论推论推论推论 若若A 是是 Hermite 阵，即阵，即 ，则存在酉，则存在酉矩阵矩阵U，使得，使得若若 是是 Hermite 阵，则阵，则 的特征值全为实数的特征值全为实数. 即即 Hermite 阵阵必可酉必可酉(正交正交)相似对角化相似对角化 特别若特别若A是非负定是非负定(正定正定) Hermite 阵，则阵，则 A的特的特征值全为非负征值全为非负(正正)实数实数. 推论推论推论推论。