高考数学考前30天之备战冲刺押题系列名师预测卷16.doc

卷16一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，合计70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上）1、已知复数，那么的值是 ▲ .2、集合，，则 ▲ .3、一个算法的流程图如图所示，则输出的值为 ▲ .第4题4、如图，已知正方体的棱长为，为底面正方形的中心，则三棱锥的体积为 ▲ . 5、已知,则 ▲ .6、已知实数x，y满足的最小值为 ▲ .7、由命题“存在，使”是假命题，求得的取值范围是，则实数的值是 ▲ .18、已知函数，则函数在处的切线方程是 ▲ .x＋y―1―=09、在数列中，已知，当时，是的个位数，则 ▲ .410、已知函数, x∈[a , b]的值域为[－1, 3 ]，则的取值范围是 ▲ .11、若m、n、l是互不重合的直线，是互不重合的平面，给出下列命题：①若②若③若m不垂直于内的无数条直线④若⑤若其中正确命题的序号是 ▲ .②④⑤12、如图，在平面四边形中，若，则 ▲ .13、对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为,则数列的前项和的公式是 ▲ . 14、若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 ▲ .4二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本小题满分14分）设△ABC的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知，（1）求角B；（2）若A是△ABC的最大内角，求的取值范围．15、解：（1）在△ABC中，由正弦定理，得 ， ……………2分又因为，所以， ……………4分所以, 又因为 , 所以． ……………6分（2）在△ABC中，，所以= ， ……… 10分由题意，得≤＜ , ≤＜，所以sin()，即 2sin()， 所以的取值范围． ………………14分16、（本小题满分14分）如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且满足. （Ⅰ）当时，求证：平面平面；（Ⅱ）试证无论为何值，三棱锥的体积恒为定值；16. 证明一：（Ⅰ）∵正方体中，面，又∴平面平面， ……………4分∵时，为的中点，∴，又∵平面平面，∴平面，又平面，∴平面平面．………7分证明二： 如图，以点为坐标原点，建立如图所示的坐标系．（Ⅰ）当时，即点为线段的中点，则，又、∴，，设平面的法向量为，…………2分则，即，令，解得， …4分又∵点为线段的中点，∴，∴平面， ∴平面的法向量为， ……5分∵，∴平面平面， ………………………7分（Ⅱ）∵， 为线段上的点，∴三角形的面积为定值，即………10分又∵平面，∴点到平面的距离为定值，即， ………………………12分∴三棱锥的体积为定值，即．17、（本小题满分15分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？17、解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：…………………………………………………4分，当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．…………………8分（2）设该单位每月获利为,则…………………………………………………………………10分因为，所以当时，有最大值．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损．…………15分18、（本小题满分15分）已知数列的前n项和为，＝1，且．（1）求，的值，并求数列的通项公式；（2）解不等式．18、（1）∵，∴． ……………… 1分∵，∴． ……………… 2分∵，∴（n≥2），两式相减，得．∴．则（n≥2）． ……………… 4分∵，∴． ……………… 5分∵，∴为等比数列，． ………… 7分（2），∴数列是首项为3，公比为等比数列． ………… 8分数列的前5项为：3，2，，，．的前5项为：1，，，，．∴n＝1，2，3时，成立； ………… 11分而n＝4时，； ………… 12分∵n≥5时，＜1，an＞1，∴． ………… 14分∴不等式的解集为{1，2，3}． ………… 15分19、（本题满分16分）已知直线，圆．（1）求直线被圆O所截得的弦长；（2）如果过点（－1，2）的直线与垂直，与圆心在直线上的圆M相切，圆M被直线分成两段圆弧，其弧长比为2∶1，求圆M的方程．19、（1）解法一：圆心O到直线l1的距离d＝＝1，……………1分圆O的半径r＝2，…………………………………………………………………2分所以半弦长为＝． ……………………………………………………4分故直线l1被圆O所截得的弦长为2．…………………………………………5分解法二：解方程组得或 ………2分直线l1与圆O的交点是（，），（，）．故直线l1被圆O所截得的弦长＝2． ……………5分（2）因为过点（－1，2）的直线l2与l1垂直，直线l1的方程为3x＋4y－5＝0，所以直线l2的方程为：4x－3y＋10＝0． ………………………………7分设圆心M的坐标为（a，b），圆M的半径为R，则a－2b＝0． ①因为圆M与直线l2相切，并且圆M被直线l1分成两段圆弧，其弧长比为2∶1，所以＝R，＝R．所以＝2×．……………………………………9分可得4a－3b＋10＝2×(3a＋4b－5)或4a－3b＋10＝－2×(3a＋4b－5)．即2a＋11b－20＝0，②或2a＋b＝0．③由①、②联立，可解得a＝，b＝．所以R＝．故所求圆M的方程为(x－)2＋(y－)2＝．…………………12分由①、③联立，可解得a＝0，b＝0．所以R＝2．故所求圆M的方程为x2＋y2＝4．…………………………………14分综上，所求圆M的方程为：(x－)2＋(y－)2＝或x2＋y2＝4． ………15分20、（本小题满分16分）已知函数（不同时为零的常数），导函数为.（1）当时，若存在使得成立，求的取值范围；（2）求证：函数在内至少有一个零点；（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.20、解：（1）当时，==，其对称轴为直线，当 ，解得，当，无解，所以的的取值范围为．…………………………………………4分（2）因为，法一：当时，适合题意………………………………………6分当时，，令，则，令，因为，当时，，所以在内有零点．当时，，所以在（内有零点． 因此，当时，在内至少有一个零点．综上可知，函数在内至少有一个零点．……………………10分法二：，，．由于不同时为零，所以，故结论成立． (3)因为=为奇函数，所以, 所以，又在处的切线垂直于直线，所以，即．因为　所以在上是増函数，在上是减函数，由解得，如图所示，所以所求的取值范围是或．当时，，即，解得；当时， ，解得；当时，显然不成立；当时，，即，解得；当时，，故．（附加题）21．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．证明：因AE=AC，AB为直径， 故∠OAC=∠OAE． ……………………………………………………………3分所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．又∠EAC=∠PDE，所以，∠PDE=∠POC．…………………………………………………………10分B．选修4－2：矩阵与变换试求曲线在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M =，N =解：MN = =…………………………………………………4分即在矩阵MN变换下…………………………………………6分即曲线在矩阵MN变换下的函数解析式为……………10分C．选修4－4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：．（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线和圆的位置关系． 解：消去参数，得直线的普通方程为…………………………………2分 即， 两边同乘以得， …………………………………6分（2）圆心到直线的距离， 所以直线和⊙相交． …………………………………10分D．选修4－5：不等式选讲已知x，y，z均为正数．求证：．证明：因为x，y，z都是为正数，所以． …………………3分 同理可得． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．………10分22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望．解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件、、；表示事件“恰有一人通过笔试” 则---------------------------------------------------------------------5分 （2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为，---------------------------------------------------------------------8分所以，故．-------------10分解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件，则所以，，．于是，．23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知直线被抛物线截得的弦长为20，。