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第1章 解线性方程组的直接法三、重、难点分析例1 用列主元消元法的方程组 注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的解 第1列主元为3，交换第1、2方程位置后消元得， 第2列主，元为交换第2、3方程位置后消元得 回代解得 例2．将矩阵A进行三角分解（Doolittle分解,Crout分解,LDU分解） 其中说明：一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进行矩阵的三角分解（或代入公式求得相应元素）在分解时注意矩阵乘法、矩阵求逆等代数运算 解：A=LUL=[1 0 0;1/2 1 0;-1/2 -2 1 ]U=[4 2 -2;0 1 -1;0 0 10] 则矩阵的Doolittle分解为 因为对角阵，则所以矩阵的LDU分解为 矩阵的Crout分解为例3 用LU分解求解方程组 注意：消元过程是解方程组，和回代过程是解方程组解：（1）将矩阵进行三角分解，由上例得： 矩阵的三角分解为 （2）解方程组（3）解方程组 所以 X= [2 0.9 0.9]第2章 解线性方程组的迭代法三、重、难点分析例1 已知向量X=（1，-2，3）,求向量X的三种常用范数。

解 ，例2 证明 证明 因为 所以例3 已知矩阵，求矩阵A的三种常用范数解 ，，例4 已知方程组（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式（2）证明当时，雅可比迭代法收敛（3）取,，求出解 （1）对，从第个方程解出，得雅可比法迭代公式为：（2）当时，A为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛3）取， 由迭代公式计算得 ， ， ， ， 则 =（， ，）例5 用高斯——塞德尔迭代法解方程组 （1）证明高斯——塞德尔迭代法收敛（2）写出高斯——塞德尔法迭代公式（3）取，求出解 （1）因为A为严格对角占优矩阵，故高斯——塞德尔迭代收敛 （2）对，从第个方程解出，得高斯——塞德尔法迭代公式为（3） ， ， ， ， 则=（， ，3113/3125）第3章 矩阵特征值与特征向量的计算 三、重、难点分析例1 已知，用乘幂法求说明：乘幂法是求实方阵A的按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。

逆幂法是求实方阵A的按模最小特征值及其特征向量的一种反迭代方法注意：初始值不能取零向量解 取，用乘幂法迭代公式，例2 用雅可比法求的全部特征值与特征向量注意：平面旋转矩阵R的元素的排列顺序和旋转角的确定解 雅可比法是求对称矩阵的全部特征值与特征向量的变换方法 所以 ， , , 第4章 函数插值与曲线拟合-new三、重、难点分析例1 已知用线性插值计算，并估计误差解 取插值节点x0= 4,x1= 9，两个插值基函数分别为 故有 误差为 例2已知函数数值表为 1 2 3 1 3 7用抛物插值法求近似值解 作差商表：一阶差商二阶差商112323741 代入牛顿插值多项式得： 故 例3 已知数表：1233.87.210用最小二乘法拟合一次多项式解 设最小一次式为，由系数公式得： 于是有法方程组 解法方程组得 所以最小二乘一次式 例6 已知插值基函数，证明 ：当时，证明：令 ， 则有 因为，所以。

第5章 数值积分-new三、重、难点分析例1 在区间上，求以为节点的插值求积公式解：由系数计算公式得 所以求积公式为例2求积公式的代数精确度为（ ） 解 由于此公式为3个节点的插值求积公式，代数精度至少为2 令，代入插值求积公式得 左边=，右边， 所以 左边=右边 再令，代入内插求积公式得 左边=，右边= 所以 左边右边所以此公式具有3次代数精度例3 用梯形公式和的复合梯形公式求积分，并估计误差解 （1） 梯形公式 因为 ，，代入梯形公式得 则 （2） 复化梯形公式 因为 和复化梯形公式得 因为 ， ， 所以 注意：在用复合梯形公式和复合Simpson公式计算 积分时注意系数的排列例4 用Simpson公式和复合Simpson公式计算 积分 ，使误差小于解 （1） Simpson公式 因为，，代入辛卜生公式得 4（2） 复合抛物线公式 因为解不等式 得 ，用，复化辛卜生公式计算得 例5 设为插值求积公式系数 证明 证明：设 ，因为 所以 。

第6章 非线性方程求根-new三、重、难点分析例1 证明计算的切线法迭代公式为：并用它求的近似值（求出即可）解 （1）因计算等于求正根，，代入切线法迭代公式得 (2) 设，因 所以 在上 由 ，选用上面导出的迭代公式计算得 例2 用二分法、割线法求的最小正根（求出即可）解 （1）用割线法因，，故，在上，，，，取 ，，用双点弦迭代公式，计算得 例3 求方程的根时，用牛顿法求具有（ ）收敛速度用割线法法求具有（ ）收敛速度第7章 常微分方程数值解法三、重、难点分析例1 用欧拉法，预估—校正法求一阶微分方程初值问题，在（0.1）0.2近似解解 （1）用欧拉法计算公式，计算得 （2）用预估—校正法计算公式计算得 ，例2 欧拉法的局部截断误差的阶为 改进欧拉法的局部截断误差的阶为 三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。