概率统计与随机过程知识点总结最终版.doc

〈〈概率统计与随机过程》知识总结第1章随机事件及其概率一、随机事件与样本空间1、 随机试验我们将具有以下三个特征的试验称为 随机试验，简称试验，(1) 重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；(2) 多样性：试验的可能结果不止一个，并且一切可能的结果都已知；(3) 随机性：在每次试验前，不能确定哪一个结果会出现随机试验一般用 大写字母E表示，随机试验中出现的各种可能结果称为试验的 基本结果2、 样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合称为试验的 样本空间，记为S,样本空间中的元素，即E的每个基本结果，称为 样本点3、 随机事件称随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件随机事件通常利用大写字母 A、B、C等来表示在一次试验中，当且仅当这一子集(事件)中的某个样本点出现时，称 这一事件发生特别地，将只含有一个样本点的事件称为 基本事件；样本空间S包含所有的样本点，它在每次试验中都发生，称 S为必然事件；事件0 (0 U S)不包含任何样本点，它在每次试验中都不发生，称 0为不可能事件4、 随机事件间的关系及运算(1) 包含关系：若BU A，则称事件A包含事件B,也称事件B含在事件A中，它表示: 若事件B发生必导致事件 A发生。

2) 相等关系：若B U A且AU B，则称事件A与事件B相等，记为 A= B 3) 事件的和：称事件 Au B ={ x | x在A或x在B)为事件A与事件B的和事件事件Au B发生意味着事件 A发生或事件B发生，即事件 A与事件B至少有一件发生 n类似地，称u A为n个事件A、A、…、An的和事件，称=A为可列个事件 A、A2… 的 i=1 i=1和事件4) 事件的积：称事件 Ac B ={ x | x在A且x w B}为事件A与事件B的积事件事件ACB发生意味着事件 A发生且事件B发生，即事件 A与事件B都发生ACB简记为AB n类似地，称c A为n个事件 A、A、…、An的积事件，称CA为可列个事件 A、A2… 的 id i =1积事件5) 事件的差：称事件 A-B={x|x^A且x至B}为事件A与事件B的差事件事件A-B发生意味着事件 A发生且事件B不发生A-B = AB = A-AB)(6) 互不相容(互斥关系)：若ACB=0，则称事件A与事件B互不相容，又称事件A 与事件B互斥事件A与B互不相容意味着事件 A与B不可能同时发生7) 互逆关系(对立关系)：若AuB = S且AC B=。

则称事件A与事件B互为逆事 件，又称事件A与事件B互为对立事件，记为A =B或B = A注意：事件A的对立事件记为 A;基本事件是两两互不相容的；对立事件与互斥事件的关系： 对立一定互斥，但互斥不一定对立 事件的运算满足的规律：交换律：A B = B A A 一 B = B 一 A结合律： A B 一. C = A B C A B - C = A - B - C分配律：A = (BcC)=(Au B)c(AuC) Ac ( Bp Q = ( Ac B) p ( Ac C)对偶律： Au"B = A C B A c B =—AG B (德•摩根律)二、随机事件的概率1、 频率在相同的条件下，将一个试验重复进行 n次，在这n次试验中，记事件A发生的次数为 Na,Na 、，次，称比值 ——为事件A在N n次试验中发生的 频率，记为fn(A)n频率描述了事件发生的频繁程度频率所具有的三个性质：性质1：非负性 Jn(A)C性质2：规范性fn(S)=1；性质3：可加性 如果事件 a , A，…，A两两互不相容，则fn(A = A2 5-2 Ak ) = fn(A ) + fn(A2 ) + …+ fn (Ak )。

2、 概率的公理化定义设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A),称为事件A的概率，且满足以下三条公理：非负性：对于任意事件 A,有P(A)的；规范性：对于必然事件S,有P(S)=1;可列可加性：设Ai,A2,...是两两互不相容事件，即对于 国，AiAj=f, i,j=1,2,...,则有P(Ai _.A2_....)=P(Ai)+P(A2)+...3、 概率的性质性质1对不可能事件 0，有P(0)=O.性质2(有限可加性)若Ai,A2,...,An是两两互不相容的n个事件，则有P(Ai A2 一. ... 一. An)=P(Ai)+P(A2)+...+ P(An)性质3(逆事件的概率)对任意事件A,有P(A) = 1-P(A)性质4 设A,B是两个事件，若BuA,则有P(A-B)=P(A)-P(B) P(A)才(B)性质5对于任意事件A, P(A)〈1性质6(加法公式)对任意两个事件 A,B有P(2，B)=P(A)+P(B)-P(AB)性质6的推论：P(AuB )苴P(A)+P(B )性质6的推广：PA_B_C =PA P B P C -P AB - P AC -P BC P ABCP，A ]=£ P(A ) — £ P(AAj )+ W P(A丹也)—•••+ (—1 尸 P(AA2…A )1 - i 4 I2，j0,则称P(A|B) = P(AB) (1)为在事件B发生的条件下，事件A P(B)的条件概率.2、 条件概率的性质条件概率P (，| A )具备概率定义的三个条件：(1) 非负性：对于任意的事件 B, P(B|A)占0；(2) 规范性：P(S| A)=1 ;一、一一 一 Z 、孕.(3) 可列可加性：设B1,B2, •-是两两互斥事件，则有： P.|uB A =E P(Bj A)。

< J i m3、 乘法公式由条件概率的定义： P(A| B) = P(AB)即得乘法定理：P(B)若 P(B)>0，贝U P(AB)=P(B)P(A|B); 若 P(A)>0，贝U P(AB)=P(A)P(B|A).乘法定理可以推广到多个事件的积事件的情况，设 A、B、C 为三个事件，且 P(AB〉0,且 P(ABC)=P(C| AB)P(B|A)P(A),一般地，设有 n个事件AA,…，An ,n 2 2，并且P(AA2…A」)》0,则由条件概率的定义可得：P(AA2 …An )= P(A|AA2 …A.-1 )P(An」|AA …An-2 ).. P (& | AA )P(A21A1 )P( A )4、 样本空间的划分定义：设S为试验E的样本空间，Bi,B2,...,Bn为E的一组事件，若(1) BiBj =0,i # j, i, j =1,2J||,n；(2) Bi 典2 U…UBn =S则称Bi,B2,川，Bn为样本空间S的一个划分5、 全概率公式定理：设试验E的样本空间为 S, A为E的事件，Bi,B2,...,Bn为S的一个划分，且P(Bi)》0(i =1,2，川，n),则恒有全概率公式：P(A) =P(A Bi)P(Bi) +P(A B2)P(B2) +|N + P(ABn)P(Bn) = W P(Bj )P( A| Bi )6、贝叶斯公式 定理：设试验E的样本空间为S, A为E的事件，Bi,B2,...,Bn为S的一个划分，且P(A)a0,P(A|B)P(B) P(Bi)》0,(i =i,2,|||,n),则 P(B A)= ! , i=i,2,H|,n.(贝叶斯公式)'、P(ABj)P(Bj)j日n=2时，两个公式的简化:全概率公式:贝叶斯公式:P(A| B)P(B)P(A) = P(A| B)P(B) P(A| B)P(B)P(B| A广 P(A|B)P(B) P(A| B)P(B)7、条件概率P(B A)与积事件概率 P(AB)的区别-# -P(AB)表示在样本空间S中，AB发生的概率，而P(B A)表示在缩小的样本空间 Sa中，B发生的概率，用古典概率公式，则P(B a)=ab中基本事件数SA中基本事件数’, \ AB中基本事件效P(AB) =—土廿「击**S中基本事件效一般来说，P(B A)比P(AB)大。

五、事件的独立性1、 事件的相互独立性定义：设A, B是两事件，如果满足等式 P(AB) = P(A) P(B),则称事件A, B相互独立，简称A, B独立说明：(1) 事件A与事件B相互独立，是指事件 A的发生与事件 B发生的概率无关.(2) 两事件相互独立与两事件互斥的关系：两事件相互独立 P(AB) = P(A)P(B)与两事件互斥 AB 二者之间没有必然联系(3) 事件 A、B独立的充要条件为：P(A| B )=P(A) ,P(B )》0 或 P(B| A)=P(B),P(A)>0三事件两两相互独立的概念P(AB) =P(A)P(B),定义：设A, B, C是三个事件，如果满足等式

2、 几个重要定理定理一：设A, B是两事件，且 P(A)》0，若A, B相互独立，贝U P(B A) = P(B).反之亦然定理二：若A, B相互独立，则下列各对事件， A与B , A与B , A与B也相互独立推广：n个事件A, A2,川，An(nZ2 )相互独立，则将A,4,川，An中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的 n个事件仍相互独立3、事件的独立性在可靠性问题中的应用所谓系统(元件)的 可靠性是指系统(元件)正常工作的概率 补充：排列与组合知识1、 加法原理设完成一件事有 m种方式，第i种方式有ni种方法，则完成这件事共有：n〔 + + nm种不同的方法2、 乘法原理设完成一件事有 m个步骤，第i种步骤有 山种方法，则完成这件事共有：n〔x n2 x x nm 种不同的方法3、 排列公式(1)从n个不同元素中不放回(不重复)地选取 m个元素进行排列，称为 选排列，则所有r不同排列的总数为： Am(Pnm)=―r一 =n(n -1川|。