21代数学基础有限域.ppt

有限域的表示有限域的表示•1. 多项式表示•2. N比特的字符表示•3. 向量空间中的基表示•4. 本原元表示1.多项式表示• 二元域F2；•多项式f(x)=x8+x4+x3+x+1在F2上不可约；•F2[x]/f(x)上模f(x)的所有多项式集合构成一个含有28个元素的域.•域中元素是F2上所有次数小于8的多项式，可以写成下面的形式：•将每个元素都可以简写为一个长度为8的比特串： 即一个字节•在16进制编码中，用一个字符表示一个长度为4的比特串，那么一个字节可以表示成两个16进制的字符•也就是说，F28上的任一元素都可以看作区间[’00’, ‘FF’]上的一个字节例如：字节01010111(’57’)对应的元素为：2.N比特二元域•对于已知的8次不可约多项式f，我们可以将域F2[x]/f(x)看作由8个比特排列所构成的28=256个元素构成的域•一般地，我们可以将域F2[x]/f(x)看作由deg(f)个比特排列所构成的含有2deg(f)个元素构成的域，将这个域称为N比特二元域 •N比特二元域在编码学和密码学中都有很多应用，AES就是在8比特二元域上实现的•在N比特二元域中，加法运算即为比特之间的模2加法，与定义多项式f无关，但是乘法运算与f有关.域中不可约多项式的根• 令F是一个有限域，f(x)是F上的一个n次不可约多项式；• 类似于数域的扩张，可以将域F扩张，使得f(x)在扩张后的域上有n个根. 分别记为 f(x)在F上不可约，这n个根都不在F中. 定理3.向量空间中基表示定义 多项式基向量空间v由线性代数的知识，n个线性无关的元素可以张成一个n维向量空间. 定理例 域F28• • • 这两个域都含有28个元素，同构. 类似地，后一种表示法也可以用一个字节来表示. • 中的乘法▫f(x)=x8+x4+x3+x+15. 本原元表示•有限域的乘法群是一个循环群.•其生成元称为本原元(或者本原根). 有限域的乘法群•定理定理: 有限域Fq的乘法群F*q是一个循环群.•引理1: F*q是至多只有一个d阶循环子群, 其中d|(q-1).•引理2: ∑d|nφ(d) = n. 我们需要如下两条引理:•证明: 如果 ≤ F*q, 那么#=d|(q-1).引理1: F*q是至多只有一个d阶循环子群, 其中d|(q-1). 同时的所有元都是方程xd-1=0的根. F*q的所有元都是是方程xq-1-1=0的根. 由于Fq [x]是唯一分解环, 得证.引理2: ∑d|nφ(d) = n.•证明: S={1,2,…,n}Sd={x | 1≤x ≤ n, gcd(x, n) = d}Sd, d|n, 构成S的一个完全划分#Sd = #{x | 1≤x ≤ n, gcd(x, n) = d} = #{x/d | 1≤x/d ≤ n/d, gcd(x/d, n/d) = 1} = #{y | 1≤y ≤ n/d, gcd(y, n/d) = 1} =φ(n/d)定理: F*q是一个循环群.•证明: 假设g是F*q的d阶元, 那么d | (q-1). 中的d阶元有φ(d)个. ord(gk)=d/(d,k) F*q中的d阶元有φ(d)个. d阶循环群存在即唯一 q-1≤∑d|(q-1)φ(d). 必须取等号定义: F*q的生成元称为Fq的本原元本原元. F*q中的(q-1)阶元有φ(q-1)个. 多项式的表示vs 本原元表示•多项式表示 --- 加法容易, 乘法复杂•本原元表示 --- 加法复杂, 乘法容易本原元表示•取F2的不可约多项式 f(x) = x4 + x + 1  是 f(x)的根, 即 f()=0, f() = 4 +  + 1 = 0 4 =  + 1. 是一个本原元 。