求数列前n项的和专题讲座及配套练习.doc

1求数列前 n 项的和专题讲座（一）知识归纳：1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等） ，然后分别求和.2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前 n 项和公式的方法.5．反序求和法：将一个数列的倒数第 k 项（k=1，2，3，…，n）变为顺数第 k 项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等） ，这是仿照推导等差数列前 n 项和公式的方法.（二）学习要点：1． “数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理信纸，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中. 在上面提到的方法中， “拆项” 、 “并项” 、 “裂项”方法使用率比较高， “拆项”的典型例子是数列“ ”的求和；“裂项”的典型例子是数列“)1(32nSn”的求和；“并项”的典型例子是数列“)(1n”的求和.nSn 1654322． “错位”与“反序”求和方法是比较特殊的方法，使用率不高，其中“错位”求和方法一般只要求解决下述数列的求和问题：若 是等差数列，{ }是等比数列，则数列}nanb{ }的求和运用错位求和方法.nba[例 1]解答下述问题：（I）已知数列 的通项公式 ，求它的前 n 项和.}{na)12(nan[解析] ,12n),12()23()53()1 nnS2= 12)12()532()31(  nn= 2n（II）已知数列 的通项公式 求它的前 n 项和.}{na,)]1([2na[解析] ,)()1(222n.)1()1()1(32 2222 n nnSn （III）求和： ;1)2()1(nS[解析]注意：数列的第 n 项“n·1”不是数列的通项公式，记这个数列为 ，}{na∴其通项公式是 .6)2(12)(6)1(2)1( )333,,][ 22  nnnnSkkka  （Ⅳ）已知数列 .}{,09nnn Saa项 和的 前求[解析] 为等比数列， ∴应运用错位求和方法：nb)1(1为 等 差 数 列3.)109((9 ),10()910][1085 9(])(109[5: ,)9(1)(3)(2109 ;0109 13212nn nnn nnnSSnS 两 式 相 减 得（Ⅴ）求和 nnn CCW)3(7432[解析] ,,310nn aaa为 等 差 数 列而 运用反序求和方法是比较好的想法，,kkC①，nnnn C)3()23(741210 012145)()3( nnnC②，0)(1nnW①+②得 ,2)3()(2210 nn.3(1n[评析]例 1 讨论了数列求和的各种方法，关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律，然后选定一种求和方法，并作出相应的变换.[例 2]解答下列问题：（I）设 ),3(9)(2xxf（1）求 的反函数 ;1f（2）若 ;),2(,,11 nnn uuu求（3）若 ;}{,,1 nnkk Saa 项 和的 前求 数 列4[解析]（1） 9)(21xf（2） 是公差为 9 的等差数列，}{),(221nnuu,80,89knn（3） ),91(9kak);19( )]8()0(0[ n nS（II）设函数 ),2(1,:}{,32)( 1nbfbxf nn作 数 列求和： .)(1421 nnbW[解析] ),384(9,3,32bbnn①当 n 为偶数时 ]}[)(){(9 222 298)]12(173[94}[)4(2{8n = );6((2n②当 n 为奇数时 }])1([)1{(94 222 nnW ).762(91398]21[94 ][})3(73{ 3})([)(982  nnn[解析]例 2 中的（I ） 、 （II ）两题是以数列求和为主要内容的数列综合试题，需要熟练运用求和方法，问题（I ）中运用了 “裂项”求和方法，而问题（II ）中灵活运用了拆项与并项的求和方法.5[例 3]已知数列 的各项为正数，其前 n 项和 ，}{na 2)1(nnaS满 足（I）求 之间的关系式，并求 的通项公式；)2(1n与 }{na（II）求证 .21nSS[解析]（I） ①，而 ②，2)(4na21)(4na①—②得 ,0)01121  nn的等差数列，2}{),2(,0dannn 是 公 差;)(4121 a而（II） 22212 11, nSSnn.21 )1()32()1(,)(12 n nSSn [评析]例 3 是十分常见的数列型的不等式证明问题，由于运用了数列求和的思想，∴作出了一个巧妙的放缩变换，然后与数列求和挂上了钩.“求数列前 n 项的和”专项训练班级 姓名 学号 一、选择题1．在数列 中， ，则项数 n 为 （ }{na 9,1nn S项 和若 其 前）A．9 B．10 C．99 D．1002．数列 1， （1+2） ， （1+2+2 2） ，…， （1+2+2 2+…+2n－1 ） ，…的前 n 项和等于 （ 6）A． B． C． D．n1221n1n2n3．设 = （ 50317,)(43SS 则）A．－1 B． 0 C．1 D．24．数列 1， （ 项 和 为的 前 n 321,,2）A． B． C． D．nn)1(2)1(4n5．数列{ }的前 n 项和 （ a 221,2naaS则）A． B． C． D．2)1(n )(3n4n )14(3n6．数列{ }的通项公式为 则数列{ }的前 n 项和na ,,1421aabannn 令 b为（ ）A． B． C． D．2n)2(n)1(n)12(n二、填空题7．数列 的前 10 项之和为 ,3165,8413,8．若 nn则,29)(29．已知{ }的前 n 项和 的值为 a |||,14102aaS则10．已知数列{ }的通项公式是 项和为 nn则 前,652三、解答题：11．已知数列{ }的各项分别为 的na }{,,,,1654343 naaaa 求7前 n 项和 .nS12．已知数列{ }满足： 的前 n 项和a }{,2)3()12(3121 nnbaa数 列.nn Wb项 和的 前求 数 列 }{.213．设数列{ }中， 中 5 的倍数的项依次记为}{),(nn N将，,321b（I）求 的值 .4,（II）用 k 表示 ，并说明理由.kb21与（III ）求和： .213nb14．数列{ }的前 n 项和为 ，且满足anS,)1(,naSa（I）求 与 的关系式，并求 { }的通项公式；1n（II）求和 .112232 nn aaW15．将等差数列{ }的所有项依次排列，并如下分组：（ ） ， （ ） ， （ ） ，n 1a32,7654,a…，其中第 1 组有 1 项，第 2 组有 2 项，第 3 组有 4 项，…，第 n 组有 项，记 Tn1n为第 n 组中各项的和，已知 T3=-48，T 4=0，（I）求数列{ }的通项公式； na（II）求数列{T n}的通项公式；（III ）设数列 { Tn }的前 n 项和为 Sn，求 S8 的值.“求数列前 n 项的和”专项训练参考答案一、1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B8二、7． 8．10 9．67 10．512)3(n11． ,2nnnaa（1） ;)1(,Snn时当（2）当 ,121aaann时)],()[(1 12312  nnnS ① ];[, 2aaann时当②当 时，1）当 n 为奇数时;1Sn2）当 n 为偶数时 .212．当 ),12()5()3()(, 1 nan nn时 ;14,2.,;11nSbnan时当 得而而 .)2(,11n得 )14(1572],[4432 nsWn 记②，24n①－②得 )()2(8143s n ).5(),5(24 ,4113Wnn得 ①913． （I） ;5,4,15,01093241 abab（II） ),()()(  NknkNmna或;2)15( ,2,,52 1522 kab abk kkk或即（III） ).1(6,22121  nbbnbnn 14． （I） ),(1,2)(11  aaSnnnn两 式 相 减 得;,2121a nn （II） )]412()3[1)(534nWn ].2[1)]1()531( 15． （I）设{ }的公差为 d，则 ① ， ②，解na48673daT0674daT①、②得 ;,9,27n（II）当 时，在前 n－1 组中共有项数为 ,1221n∴第 n 组中的 )()32(2 1 nnnT项 的 和;431n（III ） .5941,25}{88SaSn项的 前为。