
第八章 高斯投影.doc
38页51第八章 高斯投影地面-----椭球面-----平面熟悉,简单地图投影高斯—克吕格投影(高斯投影)§8.1 高斯投影概述8.1.1 投影与变形所谓地球投影,简略说来就是将椭球面各元素(包括坐标、方向和长度)按一定的数学法则投影到平面上研究这个问题的专门学科叫地图投影学这里所说的数学法则可用下面两个方程式表示: (8-1)),(21BLFyx式中 L,B 是椭球面上某点的大地坐标,而 是该点投影后的平面(投影yx,面)直角坐标式(8-1)表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系,也叫做坐标投影公式投影问题也就是建立椭球面元素与投影面相对应元素之间的解析关系式投影的方法很多,每种方法的本质特征都是由坐标投影公式 F 的具体形式体现的椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面,若将这个曲面上的元素(比如一段距离、一个角度、一个图形)投影到平面上,就会和原来的距离、角度、图形呈现差异,这一差异称作投影的变形52地图投影必然产生变形投影变形一般分为角度变形、长度变形和面积变形三种在地图投影时,我们可根据需要使某种变形为零,也可使其减小到某一适当程度因此,地图投影中产生了所谓的等角投影(投影前后角度相等,但长度和面积有变形)、等距投影(投影前后长度相等,但角度和面积有变形)、等积投影(投影前后面积相等,但角度和长度有变形)等。
8.1.2 控制测量对地图投影的要求1.应采用等角投影(又称正形投影)这样①保证了在三角测量中大量的角度元素在投影前后保持不变,免除了大量的投影工作;②所测制的地图可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似,给国民经济建设中识图用图带来很大方便如图多边形,相应角度相等,但长度有变化,投影面上的边长与原面上的相应长度之比,称为长度比图中,EAABm即在微小范围内保证了形状的相似性,当 ABCDE 无限接近时,可把该多边形看作一个点,因此在正形投影中,长度比 m 仅与点的位置有关,与方向无关,给地图测制及地图的使用等带来极大方便2.要求长度和面积变形不大,并能用简单公式计算由变形而引起的改正数为此地图投影应该限制在不大的投影范围内,从而控制变形并能进行简单计算533.要求投影能很方便地按分带进行,并能按高精度的、简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体保证每个带进行单独投影,并组成本身的直角坐标系统,然后再将这些带用简单的数学方法联接在一起,从而组成统一的系统8.1.3 高斯投影的基本概念高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影,是德国测量学家高斯于1825~1830 年首先提出的。
实际上,直到 1912 年,由德国另一位测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后,这种投影才得到推广,所以该投影又称高斯-克吕格投影想象有一椭圆柱面横套在地球椭球体外面,并与某一条子午线(称中央子午线或轴子午线)相切,椭圆柱的中心轴通过椭球体中心,然后用一定的投影方法将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上,再将此柱面展开即成为投影面我国规定按经差 和 度进行投影分带,为大比例尺测图和工程测量063采用 带投影特殊情况下工程测量控制网也可用 带或任意带03 05.1高斯投影 带自 子午线起每隔经差 自西向东分带,依次编号060 061,2,3,…我国 中央子午线的经度,由 起每隔 而至 ,共计 1290013554带,带号用 n 表示,中央子午线的经度用 表示, 0L360n高斯投影 带是在 带的基础上分成的,它的中央子午线一部分同0306带中央子午线重合,一部分同 带分界子午线重合,带号用 n/表示,06 0带中央子午线用 L 表示,关系是: 03 nL3在投影面上,中央子午线和赤道的投影都是直线,并且以中央子午线和赤道的交点 O 作为坐标原点,以中央子午线的投影为纵坐标轴,以赤道的投影为横坐标轴,这样便形成了高斯平面直角坐标系。
在我国 坐标均x为正, 坐标的最大值(在赤道上)约为 330KM为避免出现负的横坐标,y可在横坐标上加 500KM此外还应在坐标前面冠以带号,这种坐标称为国家统一坐标如某点 Y=19123456.789m,该点位于 19 带内,其相对于中央子午线而言的横坐标是:首先去掉带号,再减去 500KM,最后得 y=-376543.211m由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内,为了把各带连成整体,一般规定各投影带要有一定的重叠度,其中每一 带向东加宽 ,向西加宽 ,这样在上述重叠范围内,控制点0603 5.71或将有两套相邻带的坐标值,地形图将有两套公里格网,从而保证了边缘地55区控制点间的互相应用,也保证了地图的拼接和使用由此可见,由于高斯投影是正形投影,故保证了投影的角度不变性、图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性;由于采用了同样法则的分带投影,既限制了长度变形,又保证了在不同投影带中采用相同的简单公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算,且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行高斯投影这些优点使用权它得到广泛的推广和具有国际性8.1.4 椭球面三角系化算到高斯平面①高斯投影坐标计算 ;②平面子午线收敛角 r;③方向改化,距yxlB,,离改化;④换带计算。
56§8.2 正形投影的一般条件研究高斯投影应首先满足正形投影的一般条件,然后加上高斯投影的特殊条件,即可导出高斯投影坐标正反算公式推求时抓住正形投影区别于其它投影的特殊本质:在正形投影中,长度比与方向无关⑴建立长度比关系在微分直角三角形 P1P2P3和 P1/P2/P3/中有:(8-5)2222)cos()(dyxdsBdlNMBS则长度比为 (8-6) 2222222 cos)s()cos()( dlBNMyxBdlNdyxSsm⑵引进等量纬度 (8-7) dqcos则 (8-8)BNd0s因 q 只与 B 有关,故可把 dq 和 dl 看作互为独立的变量的微分则(8-6)式可表示为:57(8-9)222)()(dlqryxm地图投影就是建立 x,y 与 L,B 的函数关系,因 B 与 q 有确定的关系,因此投影问题也可以说是建立 x,y 与 q,l 的函数关系设函数关系式为:(8-10)),(qlyx全微分 (8-11)dlxqdxdlyqy代入(8-5)2 式得: 22222 dlyqdlxqdyxds 22222 dllylxllyqlxq 令,22qyxE, (8-12) lylxF22llG得: (8-13) 222 dlGldqFdqEs 58则(8-9)式变为:(8-14)22222 dlqrlGFdEm⑶引入方向,由图知:(8-15)dlqBNMPAtgcos90312则(8-16)dqtgAdl代入(8-14)式222 22 dqAtgdqrGtFEm(8-17)222 sincosincossec rAGAFErtg 若想使上式中 m 与 A 无关,必须满足条件:F=0、E=G (8-18)将条件代入(8-12)式得:(8-19)22220lylxqyxllF由 F=0 得, qxlyl59代入(8-19)2 式得:22222 )()()( qyxqlyqx整理得:或22lyqx 022qyx上式开方并代入(19)式得柯西(Cauchy)—黎曼(Riemann)条件:lyqx(8-20)l⑷通常,在选取椭球面和平面的坐标轴方向时,要求,椭球面上沿经线方向 q(或 B)增加时平面上 x 也增加,即 要求为正;沿纬线方向 l 增qx/加时,平面上的 y 也增加,即 也要求为正,对此取ly/lqx相应的 (8-20)yl(8-20)(8-21)式即为椭球 平面正形投影的一般条件,是各类正形投影方法都必须遵循的法则,高斯坐标正、反算公式均以此为基础。
当满足 F=0,E=G 条件时,长度比的公式:(8-22) 2222222 cos1cos1 lylxBNqyxBNm60§8.3 高斯投影坐标正反算公式任何一种投影①坐标对应关系是最主要的;②如果是正形投影,除了满足正形投影的条件外(C-R 偏微分方程),还有它本身的特殊条件8.3.1 高斯投影坐标正算公式: B, x,yl高斯投影必须满足以下三个条件:①中央子午线投影后为直线;②中央子午线投影后长度不变;③投影具有正形性质,即正形投影条件由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线,即(8-10)式中,x 为 的偶函数, y 为 的奇函数; ,即 ,ll 03l 20/1/l如展开为 的级数,收敛8-33) 531 6420lmlly lx式中 是待定系数,它们都是纬度 B 的函数,0m由第三个条件知: qylxyqx,(8-33)式分别对 和 q 求偏导数并代入上式(8-34) 53156342 420421 ldqmlldqmlmllm ldldll上两式两边相等,其必要充分条件是同次幂 前的系数应相等,即l61(8-35) dqmdqm231201(8-35)是一种递推公式,只要确定了 就可依次确定其余各系数。
0m由第二条件知:位于中央子午线上的点,投影后的纵坐标 x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长 X,即(8-33)式第一式中,当 时有:0l(8-36)0mXx顾及(对于中央子午线) BVMrBNdqdcoscos2得:(8-37,38) BVcNrdqBXdqm oscos01 (8-39)BdqBmdqmcossin22121112 依次求得 并代入(8-33)式,得到高斯投影正算公式6543,,6264256 42322 )861(cosin70 )95(cosi ltBN ltBimNlXx (8-42)522425323 )8118(cos120 )(slttBNltNly 8.3.2 高斯投影坐标反算公式 x,y B,l投影方程:(8-43)),(21yxlB满足以下三个条件:①x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴;② x 坐标轴投影后长度不变;③投影具有正形性质,即正形投影条件高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。
①由 x 求底点纬度(垂足纬度) ,对应的有底点处的等量纬度 ,求fBfqx,y 与 的关系式,仿照(8-。
