高中数学人教a版必修2学案：2.3.2平面与平面垂直的判定.doc

平面与平面垂直的判定 1．二面角的定义画法与记法. 2．二面角的平面角定义与范围. 3．面面垂直的判定方法. 4．转化思想. 1．如图，正方形 SG1G2G3中，E，F 分别是 G1G2，G2G3的中点，D 是 EF 的中点，现 在沿 SE，SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1，G2，G3三点重合，重合后的点 记为 G，则在四面体 S – EFG 中必有（ A ） A．SG⊥EFG 所在平面 B．SD⊥EFG 所在平面 C．GF⊥SEF 所在平面 D．GD⊥SEF 所在平面 2．如图，已知 AB⊥平面 BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？ 答：面 ABC⊥面 BCD 面 ABD⊥面 BCD 面 ACD⊥面 ABC. 经典习题 例 1 如图，平面角为锐角的二面角EF，A∈EF，AG，∠GAE = 45°若 AG 与所成角为 30°，求二面角EF的平面角. 【分析】首先在图形中作出有关的量，AG 与所成的角(过 G 到的垂线段 GH，连 AH，∠GAH = 30°)，二面角EF的平面角，注意在 作平面角是要试图与 GAH 建立联系，抓住 GH⊥这一特殊 条件，作 HB⊥EF，连接 GB，利用相关关系即可解决问题. 【解析】作 GH⊥于 H，作 HB⊥EF 于 B，连结 GB， 则 CB⊥EF，∠GBH 是二面角的平面角. 又∠GAH 是 AG 与所成的角， 设 AG = a，则 21 , 22 GBa GHa， 2 sin 2 GH GBH GB . 所以∠GBH = 45° 反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系. 例 2 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，直线 SC⊥平面 ABCD，E 是 SA 的中 点，求证：平面 EDB⊥平面 ABCD． 【分析】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需 要寻找已知条件“SC⊥平面 ABCD ”与需证结论 “平面 EDB⊥平面 ABCD”之间的桥梁． 【证明】连结 AC、BD，交点为 F，连结 EF， ∴EF 是△SAC 的中位线，∴EF∥SC． ∵SC⊥平面 ABCD，∴EF⊥平面 ABCD． 又 EF平面 BDE， ∴平面 BDE⊥平面 ABCD． 【评析】将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键． 例 3 如图，四棱锥 P – ABCD 的底面是边长为 a 的正方形， PB⊥面 ABCD． 证明无论四棱锥的高怎样变化，面 PAD 与面 PCD 所成的二面角 恒大于 90°． 【分析】由△PAD ≌ △PCD，可利用定义法构造二面角的平面角， 证明所成角的余弦值恒小于零即可． 【解析】不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面 PAD 与 PCD 恒为全等三角形．作 AE⊥DP, 垂足为 E，连接 EC，则△ADE ≌△CDE． ∴AE = CE，∠CED = 90°．故∠CEA 是面 PAD 与面 PCD 所成的二面角的平面角．设 AC 与 BD 相交于点 O．连接 EO，则 EO⊥AC． ∴ 2 2 aOAAEADa， 在△AEC 中， B S C 222 (2) cos 2 AEECOA AEC AE EC    = 2 (2)(2) 0 AEOA AEOA AE  ， ∴∠AEC ＞ 90°． 所以面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90°． 【评析】求二面角的大小应注意作（找） 、证、求、答． 。