2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 图形周长问题（含答案）.docx

2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习图形周长问题如图，顶点为A(，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；(3)在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax＋c(a＞0)的顶点A在x轴上，并过点B(0，1)，直线n：y=﹣x＋与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E(﹣7，7)．(1)求抛物线m的解析式；(2)P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；(3)抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．如图1，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为﹣8、2．(1)求二次函数的解析式；(2)直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD中点．①求点P的运动路程；②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；(3)在(2)的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．(1)如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长= cm；②求EP的长；(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由． 如图，抛物线y=﹣x2﹣2x＋3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.(1)求A，B，C三点的坐标.(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A，B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积.(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连结DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2DQ，求点F的坐标.如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(8，6)，连结OA，动点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿OA向终点A运动.以P为顶点的抛物线y=(x﹣h)2＋k与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴交抛物线于另一点C，动点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AO向终点O运动，以Q为顶点，作边长为4的正方形QDEF.使得DQ∥x轴，且点D在点Q左侧，点F在点Q的下方.点P、Q同时出发，设运动时间为t．(1)用含有t的代数式表示点P的坐标( ， )(2)当四边形BCFE为平行四边形时，求t的值．(3)当点C落段DE或QF上时，求t的值．(4)如图②，以OB、BC为邻边作矩形OBCG，当点Q在矩形OBCG内部时，设矩形OBCG与正方形QDEF重叠部分图形的周长为L，求L与t之间的函数关系式．如图，直线y=x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为(1，0)，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，CE的长为半径作圆，点P为直线y=x﹣3上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)求△BDP周长的最小值；(3)若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点(点M在点N的左侧)，求四边形ABMN的面积．如图，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)、B(3，0)，交于点C(0，﹣3)，设该抛物线的顶点坐标为D，连接AC．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)在抛物线的对称轴上存在一点P，使△PAC的周长最小，请求出点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在一点M，使S△MAC=2S△BCD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A(2，1)，点P是抛物线上的动点，其横坐标为m(0＜m＜2)，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，交OA于点C．点O关于直线PB的对称点为D，连接CD、AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．(1)求抛物线的解析式；(2)当m为何值时，△ACD的周长最小；(3)若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2＋bx＋5与x轴交于A(1，0)、B(5，0)两点，点D是抛物线上横坐标为6的点．点P在这条抛物线上，且不与A、D两点重合，过点P作y轴的平行线与射线AD交于点Q，过点Q作QF垂直于y轴，点F在点Q的右侧，且QF=2，以QF、QP为邻边作矩形QPEF．设矩形QPEF的周长为d，点P的横坐标为m．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．(2)求这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1：2两部分时m的值．(3)求d与m之间的函数关系式及d随m的增大而减小时d的取值范围．(4)当矩形QPEF的对角线互相垂直时，直接写出其对称中心的横坐标．答案解：(1)∵抛物线顶点为A(，1)，设抛物线解析式为y=a(x﹣)2＋1，将原点坐标(0，0)在抛物线上，∴0=a()2＋1∴a=﹣．∴抛物线的表达式为：y=﹣x2＋x． (2)令y=0，得 0=﹣x2＋x，∴x=0(舍)，或x=2∴B点坐标为：(2，0)，设直线OA的表达式为y=kx，∵A(，1)在直线OA上，∴k=1，∴k=，∴直线OA对应的一次函数的表达式为y=x．∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为y=x＋b，∵B(2，0)在直线BD上，∴0=×2＋b，∴b=﹣2，∴直线BD的表达式为y=x﹣2．由得交点D的坐标为(﹣，﹣3)，令x=0得，y=﹣2，∴C点的坐标为(0，﹣2)，由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD，OB=2=OD．在△OAB与△OCD中，，∴△OAB≌△OCD．(3)点C关于x轴的对称点C'的坐标为(0，2)，∴C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．过点D作DQ⊥y，垂足为Q，∴PO∥DQ．∴△C'PO∽△C'DQ．∴，∴，∴PO=，∴点P的坐标为(﹣，0)．解：(1)∵抛物线y=ax2﹣6ax＋c(a＞0)的顶点A在x轴上∴配方得y=a(x﹣3)2﹣9a＋1，则有﹣9a＋1=0，解得a=∴A点坐标为(3，0)，抛物线m的解析式为y=x2﹣x＋1；(2)∵点B关于对称轴直线x=3的对称点B′为(6，1)∴连接EB′交l于点P，如图所示设直线EB′的解析式为y=kx＋b，把(﹣7，7)(6，1)代入得 解得，则函数解析式为y=﹣x＋把x=3代入解得y=，∴点P坐标为(3，)；(3)∵y=﹣x＋与x轴交于点D，∴点D坐标为(7，0)，∵y=﹣x＋与抛物线m的对称轴l交于点F，∴点F坐标为(3，2)，求得FD的直线解析式为y=﹣x＋，若以FQ为直径的圆经过点D，可得∠FDQ=90°，则DQ的直线解析式的k值为2，设DQ的直线解析式为y=2x＋b，把(7，0)代入解得b=﹣14，则DQ的直线解析式为y=2x﹣14，设点Q的坐标为(a，a2﹣a＋1)，把点Q代入y=2x﹣14得a2﹣a＋=2a﹣14解得a1=9，a2=15．∴点Q坐标为(9，4)或(15，16)．解：(1)∵函数y=ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，且一元二次方程ax2＋bx＋c=0两根为：﹣8，2，∴A(﹣8，0)、B(2，0)，即OB=2，又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即C(0，﹣6)，将A(﹣8，0)、B(2，0)代入y=ax2＋bx﹣6中，得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y=x2＋x﹣6；(2)①如图1，当l在AB位置时，P即为AB的中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，∴P的运动路程为△ABC的中位线HK，∴HK=BC，在Rt△BOC中，OB=2，OC=6，∴BC=2，∴HK=，即P的运动路程为：；②∠EPF的大小不会改变，理由如下：如图2，∵DE⊥AB，∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，∴PE=AD=PA，∴∠PAE=∠PEA=∠EPD，同理可得：∠PAF=∠PFA=∠DPF，∴∠EPF=∠EPD＋∠FPD=2(∠PAE＋∠PAF)，即∠EPF=2∠EAF，又∵∠EAF大小不变，∴∠EPF的大小不会改变；(3)设△PEF的周长为C，则C△PEF=PE＋PF＋EF，∵PE=AD，PF=AD，∴C△PEF=AD＋EF，在等腰三角形PEF中，如图2，过点P作PG⊥EF于点G，∴∠EPG=∠EPF=∠BAC，∵tan∠BAC==，∴tan∠EPG==，∴EG=PE，EF=PE=AD，∴C△PEF=AD＋EF=(1＋)AD=AD，又当AD⊥BC时，AD最小，此时C△PEF最小，又S△ABC=30，∴BC×AD=30，∴AD=3，∴C△PEF最小值为：AD=．解：(1)① 6． ②设BE=x=ME，由勾股定理22+x2=(4﹣x)2得出BE=2.5，AE=1.5 由△EAM∽△MDP求出DP=EP= (2)△PDM的周长保持不变． (3)证明：如图，设AM=xcmcm，Rt△EAM中，由，可得：．∵∠AME+∠AEM=，∠AME+∠PMD=，∴∠AEM=∠PMD．又∵∠A=∠D=，∴△AEM∽△DMP．∴，即，∴故△PDM的周长保持不变．解：(1)由抛物线y=﹣x2﹣2x＋3可知点C(0，3)，令y=0，则0=﹣x2﹣2x＋3，解得x=﹣3或x=1，∴点A(﹣3，0)，B(1，0).(2)由抛物线y=﹣x2﹣2x＋3=﹣(x＋1)2＋4可知，对称轴为直线x=﹣1，设点M的横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m＋3，MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长=2(PM＋MN)=2(﹣m2﹣2m＋3﹣2m﹣2)=﹣2m2﹣8m＋2=﹣2(m＋2)2＋10，∴当m=﹣2时矩形的周长最大.∵点A(﹣3，0)，C(0，3)，可求得直线AC的函数表达式为y=x＋3，当x=﹣2时，y=﹣2＋3=1，则点E(﹣2，1)，∴EM=1，AM=1，∴S=AM·EM=.(3)∵点M的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，∴点N应与原点重合，点Q与点C重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x＋3，得y=4，∴点D(﹣1，4).∴DQ=DC=.∵FG=2DQ，∴FG=4。