08全国初中数学联赛决赛试题江西卷.doc

2008年全国初中数学联赛决赛试题（江西卷）（2008年4月19日 上午9：00—11:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1、从分数组中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（　 ）（A） (B) (C) (D)2、化简的结果是（ ）（A） (B) (C) (D)3、的末尾三位数字是（ ）（A）125 (B)375 (C)625 (D)8754、若实数满足方程组：,　　则有（ ）（A）x+2y+3z=0 (B) 7x+5y+2z=0 (C) 9x+6y+3z =0 (D)10x+7y+z=05、将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（ ）（A）15 (B)18 (C)21 (D)246、某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个框中各填写了一个两位数，结果所得到的六位数恰是一个完全立方数，则=（　　）（A）４０ (B)５０ (C)６０ (D)７０二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7、设 .8、一本书共有61页，顺次编号为1，2，…，61，某人在将这些数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（即：形如的两位数被当成了两位数），结果得到的总和是2008，那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是 .9、如图，在边长为1的正三角形ABC中，由两条含圆心角的弓形弧，及边BC所围成的（火炬形）阴影部分的面积是 . 10、不超过的最大整数是 .三.解答题（共70分）11. （本题满分20分）设a为整数,使得关于x的方程a-(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根.12. （本题满分25分）如图，四边形中ABCD中 ，E,F分别是AB,CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K;求证：K是线段MN的中点. 13. （本题满分25分）120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？参考答案－、选择题（每小题7分，共42分）1 、解：由，而故删去后，可使剩下的数之和为1.故选C2、解： =.故选A .3、解：=5×=5×，因125被8除余l，所以被8除余l，故知被8除余5，而在125、375、625、875四数中，只有125被8除余5，故选A4 、解：由（1）、（3）得，,故x≠0，代人（2）解得，所以，54.检验知此组解满足原方程组.于是10X＋7y＋Z＝0．故选D5、解：图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线，原正三角形内部每条长为1的线段，恰是一个边长为1的菱形的对角线；这种线段有18条，对应着18个边长为1的菱形；原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线，三条中位线对应着3个边长为2的菱形；共得21个菱形. 故选C6、解：设=，则据末位数字特征得y＝2，进而确定：因＝216000，＝343000，所以60＜＜70，故只有，=62，而＝238328，则＝38，＝32，＋=70. 故选D二．填空题（每小题7分，共28分）7、解：据条件式令＝z，则（1）式化为：＝9，即有9-z＝+，平方得，81-18z＋＝ ……(2),又由 ==,代入（2）得，81-18z=4,所以.8、解：l＋2＋…＋61＝1891，2008—1891＝117，由于形如的页码被当成后，加得的和数将相差9，因为只能在1，2，…，9中取值，≤8，得9≤72，由于117＝72＋45＝63＋54，设弄错的两位数是和，若9=72，9=45，只有＝19，而可以取l6，27，38，49；这时+的最大值是68；若9=63，9=54，则可以取18，29，而可以取17，28，39，+的最大值也是68．9、解：如右图，连OA，OB，OC，线段 OA将阴影的上方部分剖分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点O旋转后，阴影部分便合并成△OBC，它的面积等于△ABC面积的三分之—，即等于.10、解：=，令 ＝a，＝b，得 a＋b＝16，ab=4，a,b是方程的两个根，故得＝16a－4，＝16b－4；＝16－4a，；所以+＝16（+）-4（a+b）＝16（16（a+b）一8）－4（a+b）=252（a+b）-128=3904.∵0＜b＜1，∴0＜＜1，∴的最大整数值不超过3903.三.解答题（共70分）11、解：当a＝0时，方程的有理根为； ……5分 以下考虑a≠0的情况，此时原方程为一元二次方程，由判别式即3＋18a－25≤0，得整数a只能在其中的非零整数1，－1，－2，－3，－4，－5，－6，－7中取值，…… 10 分由方程得 ……（1）当a＝1，由（1）得x＝2和4；当a=－1时，方程无有理根；当a＝－2，由（1）得x＝1和－；当a=－3时，方程无有理根； ……15分当a＝－4，由（1）得x＝－1和；当a=－5时，方程无有理根；当a＝－6，由（1）得x＝和－；当a＝－7时，由（1）得x＝和；…… 20分 12、证明：EF截△PMN，则……5分 BC截 △PAE，则，即有所以, ……10分 AD截△PCF，则即……15分因AP＝AC＋CP，得2CP＋ AC＝2AP－AC，由(3),(4)得， — 即所以由(1)得 NK＝KM，即K是线段 AM的中点 ……25分13、解：将这120人分别编号为，并视为数轴上的120个点，用表示这120人之中未答对第k题的人所成的组,为该组人数, k=l，2，3，4，5，则=24, ……5分8546543724将以上五个组分别赋予五种颜色，如果某人未做对第k题，则将表示该人点染第k色，k=l，2，3，4，5，问题转化为，求出至少染有三色的点最多有几个？由于+＝246，故至少染有三色的点不多于=82个，……10分右上图是满足条件的一个最佳染法，即点这85 个点染第五色；点 这37个点染第二色；点这46个点染第四色；点这24 个点染第一色；点这54个点染第三色；于是染有三色的点最多有78个. …20分因此染色数不多于两种的点至少有42个，即获奖人数至少有42个人（他们每人至多答错两题，而至少答对三题，例如这 42 个人) …… 25分 。