解三角形常用知识点归纳与题型总结.pdf

1 解三角形常用知识点归纳与题型总结1、三角形三角关系：A+B+C=180 ； C=180 (A+B) ；.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. .锐角三角形性质：若ABC 则6090 ,060AC.2、三角形三边关系：a+bc; a-bc 3、三角形中的基本关系：sin()sin,ABC cos()cos,ABCtan()tan,ABCsincos,cossin,tancot222222ABCABCABC（1）和角与差角公式sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantantan()1tantan. （2） 二倍角公式sin2 = 2cossin . 2222cos2cossin2cos112sin221tan1tan. 221cos21cos2sin,cos22（ 3）辅助角公式（化一公式）)sin(cossin22xbaxbxay其中abtan4、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC5、正弦定理的变形公式：化角为边：2sinaR，2sinbR，2sincRC；化边为角：sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin: sina b cC；sinsinsinsinsinsinabcabcCC=2R 6、两类正弦定理解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 已知两角和其中一边的对角，求其他边角.( 对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）) 7、 三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac =2R2sinAsinBsinC=Rabc4=2)(cbar=)()(cpbpapp( 海伦公式 ) 8、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 2222coscababC9、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。

在变形中，注意三角形中其他条件的应用：10、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角，求其余的量已知三边求角11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a、b、c是C的角、C的对边，则：若222abc，则90C；若222abc，则90C；若222abc，则90C12、三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点题型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题1 （15 北京理科）在中，则试题分析：2.（2005 年全国高考湖北卷) 在ABC 中，已知66cos,364BAB，AC 边上的中线ABC4a5b6csin2sinAC222sin 22 sincos2sinsin2AAAabcaCCcbc2425361616256精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -3 BD=5，求 sinA 的值分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及 BC，再由正弦定理，即得sinA解：设 E 为 BC 的中点，连接DE，则 DE/AB，且36221ABDE，设 BEx在BDE 中利用余弦定理可得：BEDEDBEEDBEBDcos2222，xx6636223852，解得1x，37x（舍去）故 BC=2，从而328cos2222BBCABBCABAC，即3212AC又630sin B，故2 2123sin306A，1470sin A在 ABC 中，已知 a2，b2 2，C15 ，求 A。

答案：000018030BAAA，且，题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状1. (2005 年北京春季高考题)在ABC中，已知CBAsincossin2， 那么ABC一定是（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形解法 1：由CBAsincossin2sin(AB)sinAcosBcosAsinB，即 sinAcosBcosAsinB0，得 sin(AB)0，得 AB故选 (B) 解法 2：由题意，得cosBsin2sin2CcAa，再由余弦定理，得cosB2222acbac2222acbac2ca，即 a2b2，得 ab，故选 (B) 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断(如解法1)，统一化为边，再判断(如解法 2)题型之三：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题1. 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -4 2在ABC中，sincosAA22，AC2，AB3，求Atan的值和ABC的面积。

答案：SACABAABC1212232643426sin()3. （07 浙江理 18）已知ABC的周长为21，且sinsin2sinABC（I）求边AB的长；（II ）若ABC的面积为1sin6C，求角C的度数解： （I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得1AB（II ）由ABC的面积11sinsin26BC ACCC，得13BC AC，由余弦定理，得222cos2ACBCABCAC BC22()2122ACBCAC BCABAC BC，所以60C题型之四：三角形中求值问题1. (2005 年全国高考天津卷) 在ABC中，CBA、所对的边长分别为cba、，设cba、满足条件222abccb和321bc，求A和Btan的值精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -5 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理解：由余弦定理212cos222bcacbA，因此，60A在 ABC 中， C=180 AB=120 B. 由已知条件，应用正弦定理BBBCbcsin)120sin(sinsin321,21cot23sinsin120coscos120sinBBBB解得,2cot B从而.21tanB2ABC的三个内角为ABC、 、，求当 A 为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。

解析：由 A+B+C= ，得B+C2=2A2，所以有cosB+C2=sinA2cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=12sin2A2+ 2sinA2=2(sinA212)2+ 32；当 sinA2= 12，即 A=3时, cosA+2cosB+C2取得最大值为323在锐角ABC中，角ABC， ，所对的边分别为abc， ，已知2 2sin3A， （1）求22tansin22BCA的值；（2）若2a，2ABCS，求b的值解析： （ 1）因为锐角 ABC 中，ABC ，2 2sin3A，所以 cosA13，则22222BCsinBCAA2tansinsinBC222cos21cos BC11cosA171cosA1cosBC21cosA33（ ） （ ） （ ）（2）ABCABC112 2S2Sbcsin Abc223因为，又，则 bc3将 a2，cosA13，c3b代入余弦定理：222abc2bccos A中，得42b6b90 解得 b3点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时， 灵活逆用公式求得结果即可精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -6 4在ABC中，内角ABC， ，对边的边长分别是abc， ，已知2c，3C（）若ABC的面积等于3，求ab，；（）若sinsin()2sin 2CBAA，求ABC的面积本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力解： （）由余弦定理及已知条件得，224abab，又因为ABC的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab 4 分联立方程组2244ababab，解得2a，2b 6 分（）由题意得sin()sin()4sincosBABAAA，即sincos2sincosBAAA， 8 分当cos0A时，2A，6B，4 33a，233b，当cos0A时，得sin2sinBA，由正弦定理得2ba，联立方程组2242ababba，解得233a，4 33b所以ABC的面积12 3sin23SabC12 分题型之五（解三角形中的最值问题）1.（ 2013 江 西 理 ） 在 ABC中 ， 角A ， B， C 所 对 的 边 分 别 为a， b， c ， 已 知cos(cos3sin)cos0CAAB. （1）求角 B 的大小； (2)若1ac，求 b 的取值范围答案：（1）60(2)12，1）2（2013 新课标 ）在内角的对边分别为, 已知. ( ) 求;( ) 若, 求面积的最大值 . 答案：（1）45(2) 2+1 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -7 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -8 5.(2014 新课标理)已知, ,a b c分别为ABC的三个内角,A B C的对边，a=2，且(2)(sinsin)()sinbABcbC，则ABC面积的最大值为3. 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师。