小学奥数16数阵图.docx

小学奥数16数阵图数阵图基础知识数阵是由幻方演化出来的另一种数字图幻方一般均为正方形图中纵、横、对角线数字和相等数阵则不单有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合变化多姿，奇趣迷人一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、关闭型数阵、复合型数阵数阵的特色是：每一条直线段或由若干线段构成的关闭线上的数字和相等它的表达形式多为给出必定数目的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特色解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和2.依据“和相等”，列出关系式，找出重点数——重复使用的数3.确立重复用数后，比较“和相等”的条件，用试试的方法，求出其余各数有时，因数字存在不一样的组合方法，答案常常不是独一的辐射型数阵例1将1～5五个数字，分别填入以下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来即是20了20－15＝5，如何才能增添5呢？由于中心的一个数是个重复使用数只有5连加两次才能使五个数字的和增添5，重点找到了，中心数一定填5确立中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两头，使每条线上数的和是10即可。

例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等解：中共有 3条，若每条数字和相等， 三条的数字和必 3的倍数中心数a，a被重复使用了 2次即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a能被3整除28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3此中28÷3＝9⋯余1，所以2a÷3余2由此，即可推得 a只好是1、4、7三数当a＝1，28＋2a＝3030÷3＝10，其余两数的和是10－1＝9，只需把余下的2、3、4、5、6、7，按和9分红三填入两头即可同理可求得a＝4、a＝7两头填入的数例3将从1开始的自然数填入各○中，使每条上的数字和相等解：中共有三条，若每条数字和相等，三条的数字和必3的倍数中心数a，a被重复使用了两次，即：1＋2＋3＋⋯⋯＋10＋2a＝55＋2a，55＋2a能被3整除55＋2a）÷3＝55÷3＋2a÷3此中，55÷3＝18余1，所以2a÷3余2由此，可推知a只好在1、4、7中挑在a＝1，55＋2a＝57，57÷3＝19，即中心数若填1，各条上的数字和19但是除去中心数1，在其余九个数字中，只有两可足一条件，即：9＋7＋2＝18，8＋6＋4＝18，7＋5＋3＝15所以，a不可以填1。

a＝7，余下的数合 12（19－7＝12），也不能足条件所以，确立 a只好填4例4将1～9九个数字，填入下各○中，使、横两条上的数字和相等解：1～9九个数字和是： 1＋2＋3＋⋯⋯＋9＝5×9＝45，把45均分红两份： 45÷2＝22余1就是，若使每行数字和23，需把1重复加一次，即中心数填1；若使数字和24，中心数填3⋯⋯之，因45÷2余数是1，只好使1、3、5、7、9各个奇数重复使用，才有可能使横、行的数字和相等因此，此可有多种解法但中心数必是9之内的奇数例5将1～11十一个数字，填入下各○中，使每条段上的数字和相等解：图中共有五条线段，所有数字的总和一定是 5的倍数，每条线上的数字和才能相等1～11十一个数字和为 66，66÷5＝13余1，一定再增添 4，可使各线上数字和为 14共五条线，中心数重复使用 4次，填1恰切合条件本题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积，加上原余数 1，所得的和一定是5的倍数据此，中心数填 6、11均可得解关闭型数阵例1把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入○中，使三角形各边上的数字和都是12解：要使三角形每边上的数字和都是 12，则三条边的数字和即是 12×3＝36，而＋4＋5＋6＋7＝27，36与27相差9。

三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是 9，才能切合条件确立了角顶的数字，其余各数经过试试便简单求得了！这题还可有很多解法，上图不过此中一种2＋3例2把1～9九个数字，分别填入以下图○中，使每边上四个数的和都是21解：要使三角形每条边上的数字和是 21，则三条边的数字和即是： 21×3＝63而1～9九个数字的和只有 4545比63少18，只有使三角形三个顶角的数字和为 18，重复使用两次，才能使总和增添 18所以应确立极点的三个数 下边是填法中的一种 确立了顶角的数后， 其余各数便简单了例3以下图是四个相互联系的三角形把1～9九个数字，填入○中，使每个三角形中数字的和都是15解：每个三角形数字和都是 15，四个三角形的数字和即是： 15×4＝60，而1～9九个数字和只有 4545比60少15如何才能使它增添 15呢？靠数字重复使用才能解决中间的一个三角形，每个顶角都联着其余三角形，每个数字都被重复使用两次所以，只需使中间的一个三角形数字和为 15，便能够切合条件所以，它的三个顶角数字，能够分别为：1、9、52、8、52、7、64、6、5及2、9、43、8、43、7、58、6、1。

把中间的三角形各顶角数字先填出， 其余各个三角形便简单解决了 前页以下图是此中的一种例4把2～10九个数字，分别填入以下图○中，使每条直线上的三个数和为15解：2～10九个数字的和： 2＋3＋4＋⋯⋯＋10＝6×9＝54若排成每个三角形每的数字和都是 15，中含有每都三个数字的三角形有两个，共六条，数字和是 15×6＝9054比90少36在外的六个数都被重复使用了两次， 它又分属于两个三角形 所以，每个三角形三个角的数和： 36÷2＝18便能够先填外三角形三个角的数三个数和18的有好多，能够通出适合的一填好了外三角形各个数后，里面的三角形，因角的数已知，其余各数便简单填写了上边是填法中的一种例5把1～10十个数字，分填入下○中，使每个三角形三个角的三个数字和相等解：图中有三个三角形，顶角数字互不联系，中心的一个数独立于各个三角形以外所以，要使各三角形顶角的数字和相等去掉中心数后，数字总和应是 3的倍数，并且三角形顶角的数字三组中不可以出现重复如：以10为中心数，可填为如上图样例6将1～12分别填入以下图○中，使图中每个三角形周边上的六个数的和都相等解：图中共有四个三角形， 共有六个边。

1～12的数字和是 78每条边上的数字和应为：78÷6＝13这样，我们能够推想：由于内部的三条边都被重复计算两次，只需每个数增添个数的总和便增添6，它们相同能够填出来，因此，本题的解法是好多的1，十二1111123577、把、、、、、、、、九个数分别填入以下图○中，使每条直线上的三个234612341212数的和都相等解：九个分数排成方阵，使纵、横、对角线的三个数和相等，这已经切合幻方的要求了，所以，能够按幻方的制作方法求解111151723这十二个分数，按从小到大的次序摆列是：、、、、、、、、126431221234把它们按次摆列为斜方形：将上、下两数，左、右两数对换，再把中间四数向外拉出，这样从头构成的数阵，即是求得的解了例8将1～8八个数字，分别填入以下图○中，使每个小三角形极点上三数之和为12解：图中共有四个小三角形，每个三角形极点数字的和若都是 12，数字总和即是 12×4＝48，但是1～8八个数字总和只有3636比48少才能解决所以，一定把四个公用顶角的数字和填成12只有靠共用顶角上数的重复使用，12把1～8八个数四个一组， 和为12的有：6＋3＋2＋15＋4＋2＋1上述两组中，经考证，只有 6＋3＋2＋1能够作公用极点的数字。

例9在以下图五个○内，各填入一个自然数，使图中八个三角形中极点的数字和各不相同求能知足这个条件的自然数中最小的五个数解：能知足使八个三角形极点数字和各不相同的随意自然数有好多组， 但自然数中能满足这个条件的最小自然数却只有一组 最小的一组自然数中的五个数， 如有两个相同的， 其中三个数的和能够多到有 7个不一样值，所以，五个数互不相同假如这五个数是 1，2，3，4，5，则此中三个数的和有以下组合方式：1＋2＋3＝62＋3＋4＝93＋4＋5＝121＋2＋4＝71＋3＋4＝82＋3＋5＝102＋4＋5＝11这样，总合只有七种不一样的和，而图中共八个三角形，可知不可以知足条件1，2，3，4，5五个自然数例10在以下图中三个正方形中，每个正方形的四个极点上，只填入使图中八个三角形极点数字和互不相同1，2，3，4四数，解：图中，顶角在大正方形边上的四个三角形，顶角都分别为两个三角形共用，只有正方形的四个角分别只属于一个三角形，所以，四个三角形极点数字的和应等于：（1＋2＋34）×3＝3030不是4的倍数，因此，外面的四个三角形极点数字和不行能相等同理，里面的四个三角形极点数字和也不行能相等题中要求，每个三角形极点数字和不相同，1～4四个数之和最小值是1＋1＋2＝4，最大值是4＋4＋3＝11，这样共可构成八组数，将八组数分别填入各个三角形极点，即可切合条件。

例11将1～8八个数字，分别填入以下图○中，使每个面的四个数和相等解：数字是个正立方体， 共有六个面每个面四个点上的数都是三个面重复使用的1～8八个数的数字和是：1＋2＋3＋⋯⋯＋8＝36因每个点的数都被重复使用三次，所以六个面的数字和是：36×3＝108每个面的数字和即是：108÷6＝18，即可填下或其余形式。