多重积分的变量替换.ppt

积分学多重积分的变量替换1讨论的缘由•单积分或一重积分的变量替换(也叫换元)的根据是微积分基本定理, 其在计算和证明中的作用是巨大的. 在证明了Fubini定理之后, 它在重积分的讨论中也获得应用.但这还是不够的！•多重积分的一般变量替换是一个十分重要、有趣题目2基本思路•什么样的Rn到自身的变换是保集合的可测性的?基本例子:正则变换•正则变换如何改变可测集的测度?Ø线性变换：讨论特征函数Ø正则变换：讨论特征函数•非负可测函数和有积分函数的积分变换公式3复习Rn上正则变换•定义:设Rn是非空开集, T  Rn满足下列条件:ØT在上是单射；ØT在上有一阶连续导数(即是C1的);ØDT=T在上处处可逆(即J(T)=det(T)恒不为零)则称T为上的正则变换.•结论: T()开集、T-1: T()也是正则变换、且4记号复习：导数矩阵•导数矩阵(也叫Jacobi矩阵): 5记号复习：差分的表示•设x, B(x,r) (r>0),yB(x,r).T Rn 在x点可微, 则•其中T(y), T(x), y和x都是n维列向量, |y-x|是n维欧氏范数(也叫长度或距离)6记号复习：差分矩阵表示•上页的式子的矩阵形式：7记号复习：线性变换•设L: RnRn为线性变换, 在取定基(通常取标准基)后, L可等同为一个n阶方阵(也记为L).•线性变换是可微变换; 如果还是非奇异(也叫非退化的), 就是正则变换•L(x)=Lx; L(x)=L; J(L)=det(L)•线性变换的范数: ||L||=max{|Lx| : |x|=1} •导数的范数: ||T||E=sup{||T(x)|| : xE}8正则变换是可测变换•可测变换: 把可测集映射成可测集的变换叫做可测变换•正则变换是可测变换: 由正则变换把开集映射成开集, 再由正则变换是单射, 因此在正则变换下, 交的像等于像的交. 由任一个可测集包含在可数多个开集的交中,并且两者的差的测度为零.因此只要能证明零测集的像还是零测集就行了•步骤: (1) 在一个闭方块中的零测集的像是零测集; (2) 一般的零测集的像是零测集9闭方块中零测集的像•设 Rn中的开集,T为上的C1变换. 闭方块Q, EQ为零测集, 即|E|=0, 则|T(E)|=0.•证明:只要证明,|T(E)|<就行了.记=||T||Q, 由微分中值不等式任取, 由|E|=0, 存在可数多开方块Ck, k=1,2,…10闭方块中零测集的像(续)不妨设 , 否则用CKQ替代CK.取 为Ck的中心, 记Ck的边长为 , 我们有因此所以11零测集的像是零测集•设Rn中的开集,T为上的C1变换. E为零测集, 即|E|=0, 则|T(E)|=0.•证明: 可以表示成可数多个闭方块的并以及上面的结论，就可以得到所要的结论.#12可测集的像是可测集•设Rn中的开集,T为上的正则变换.E, 为可测集, 则T(E)也是可测集.•证明: 由E可测, 则存在可数多个开集Gk和零测集Z, 有注意T(Gk)是开集且就得到结论.#13问题二•如果仅要求T是C1的, T还能把可测集映成可测集吗？•其他类型的可测变换.14正则变换如何改变测度•基本结果：–测度–积分•如何证明：–线性变换: 此时J(T)是常数–正则变换15线性变换测度公式•设L是Rn上的线性变换, ERn可测. 则L(E)可测且|L(E)|=|det(L)| |E|.•证明步骤：只需要讨论L为可逆的情形–对方块结论成立(利用线性变换的初等分解)，学生自己写清楚–对开集结论成立(由第一步和测度的性质)–对有界可测集结论成立–对一般可测集结论成立16线性变换测度公式(续)•有界可测集：取单调递减的开集列Gk和零测集Z,注意|Gk||E|(k), |L(Gk)||L(E)|(k), 以及|L(Gk)|=|det(L)| |Gk|就得到结论•一般可测集: 取单调递增有界可测集列Ek, 类似的步骤给出结论.#17线性变换的两个推论•推论1: Lebesgue测度在正交变换下是不变的；•推论2: 设a>0, L=aI (位似变换,也叫伸缩变换)则|L(E)|=an|E|.18线性变换积分公式•设L是Rn的可逆线性变换, E Rn可测. 是L(E)上的可积函数. 则下列公式成立•证明: 考虑E=Rn的情形就可以了.只要证明对简单函数结论成立就行了, 而这正是测度公式所说的, 惟一要注意的就是19正则变换的测度不等式•E为闭方块Q成立(证明关键)  E为开集G  任意可测集E•闭方块Q情形的证明: 记h为Q的边长. 证明的想法是对T用其导数(线性变换)“局部”近似. 具体方法是等分Q和利用导数的连续性以及线性变换时的结果.20闭方块测度不等式通过把Q的各边m等分将等分Q为N=mn个不重叠的小方块{Qk},记Qk的中心为xk, Lk=T(xk),k=1,…,N. 由可微性由微分中值定理, 得到不等式,记21闭方块测度不等式(续1)由T在Q上连续, ()0 (0). 下面估计注意其中记22闭方块测度不等式(续2)由关系式可知 包含在以 为心, 以 为边长的方块中,也就是, 在注意到23闭方块测度不等式(续3)因此，令m就得到24开集的测度不等式•对于开集G,成立测度不等式•证明: 取可数多个不重叠的闭方块QKG,满足 , 因此25有界可测集的测度不等式•对于有界可测集E,成立测度不等式•证明:由E可测,取单调递减有界开集列Gk和零测集Z满足•由此得到•由控制收敛定理,k就得到不等式.#26可测集的测度不等式•对于可测集E,成立测度不等式•证明:取两两不相交有界可测集列Ek满足则27非负可测函数的积分不等式•设是T()上的非负可测函数, 则•证明：上述不等式对非负简单函数成立, 然后利用Levi单调收敛定理就可以了.#28非负可测函数的积分公式•设是T()上的非负可测函数, 则•证明: 由积分不等式,只要证明相反的不等式成立就行了. 在上非负可测, 是V=T()上的正则变换, 由积分不等式29有积分函数的积分公式•设是T()上有积分的函数, 则•证明: 对的正部和负部分别使用非负可测函数的积分公式, 然后相减就行了. #30。