透视对应读书笔记.docx

透视对应姓名：刘先会 学号：2011125107众所周知,在仿射几何学中，透视仿射对应起着举足轻重的作用特别,在初 等几何中得到广泛应用•同样,在射影几何学中，透视对应亦非常重要•本文由射 影对应引出透视对应，给出透视对应的定义与射影对应成为透视对应的充要条 件，并总结了透视对应与射影对应的关系，对透视对应作了比较全面的介绍1. 预备知识平行射影又叫做透视仿射，把仿射看作透视仿射链同样的，中心射影又称 为透视，射影变换（射影对应）可以看作透视链即任何射影对应可以用透视作 为手段来实现因为透视对应是一种特殊的射影对应首先介绍射影相关知识便于理解透视 对应的定义与证明定义1・1设有两点列，动点坐标分别为p +卩q，p，+『q，，若对应点的参数卩与『满足双一次关系（1）ap『 + bp + c『+ d = 0, a b丰0，（ abcd 表常数）或（2）c dW = P旦，—b -d丰0 ,则称这两点列成射影对应a卩+c a c同样的，设有两线束，动线坐标分别为p + yq，p: +『q :，若对应直线的参数卩与『满足（1）或（2），则称这两线束成射影对应定义1・2设有一点列，动点坐标为p +凹，又有一线束，动直线坐标p，+问，若对应参数卩与『满足（1）或（2），则称此点列与线束成射影对应。

称为卩的射影函数定理1.1设点s不在点列p + yq上，那么这点与点列上任意一点联线，所作成的 线束与点列成射影对应证明：设点列的基底以矢量p和q表达，动点以p +凹表达（图1）将已知 点s到这些点联线，这些直线的坐标分别是pxs，qx s，（p +pq）xs = （pxs）+p（qxs）置p' = p x s，q' = q x s，可见点列中动点的坐标为p + yq，而线束中对应直线的坐标为p，+卩q，，参数间的关系为= 这显然是射影函数卩'= 卩丰0'丫卩+ 8 （ Y 8 丿的特例：a = 8 0,卩=y = 0，所以点列和线束成射影对应交换点与直线的地位、点坐标与线坐标的地位，同理即可得到定理1・1的对 偶命题：定理1・2设直线s不通过线束p +卩q的中心（图2），那么这直线截这线束所得的 点列与这线束成射影对应2. 透视对应定义2.1点列与线束成射影对应，而对应线通过对应点的（即对应点在对应线 上），这种特殊的射影对应称为透视对应这时两个一维几何形式（点列与线束）称为互成透视状态或处于透视位置透视对应的表示方法：；例如点列（A,B,C,）和线束（a,b,c,）成透视，便以付号（A, B, C, ）A（a,b, c,）表示。

定义2.2如果两个点列与同一线束成透视对应，则称两个点列成透视对应几 何特征是：两个点列中对应点的联线共点（图3）,此点称为透视心同样的，如果两个线束与同一点列成透视对应（图4）,则称两个线束成透视 对应几何特征是：两线束中对应线的交点共线，此直线称为透视轴很自然地，我们将考虑什么情况下两个射影点列（两个射影线束）成透视 定理2.1两个射影点列成透视的充要条件：两个点列的公共点成自对应 定理2.2两个射影线束成透视的充要条件：两个线束的公共线成自对应下面我们证明定理2.1，定理2.2的证明与其类似证明：必要条件是显然的设直线i上点列a,b,c,与直线厂上点列a；b；C, 成透视，透视心为S设P为l与厂的交点（图5）这一点看作i上一点，其在T 上的对应点p显然是这一点自身反之，设i与厂上有两个射影点列： （A, B, C, ）A（ A , B , C ,）且l与厂的交点自对应，即P三P我们来证明这两点列 实际上成透视，即要证明任意一对对应点的联线通过一定点事实上，联两对对应点A, A；B,B/的直线，设相交于S，并设S与l上任意一点M的联线交厂于M1于是交比（PA,BM）= Ca‘, B M '）。

可见C，A :B M J由射影对应的假设，又有1（PA, BM ）Ca a,B M '）二Ca a,B M J，两端前三点分别相同，交比1又相等，从此判断ma三MA可见任意一对对应点的联线mma通过一定点S 所以两点列确实成透视以上讨论了透视对应的定义和成透视对应的充要条件，下面给出透视对应的特 征：（1） 两个点列成透视对应，则对应点的联线共点2） 两个线束成透视对应，则对应点在对应线上3） 点列与线束成透视对应，则对应线的交点共线3. 透视对应与射影对应由二维射影变换与透视变换的定义，可得到二者之间有如下关系：（1） 两平面点之间的透视对应必是射影对应2） 若干个透视对应（透视链）的结果必为射影对应3 ）两个平面间的射影对应可以表示为不多于三个透视对应的乘积4） 平面兀的透视变换可分解为两次透视对应之积5） 平面兀的非恒等射影变换©可分解为若干次透视变换之积6） 平面兀的非恒等射影变换©可分解为若干次透视对应之积现在来考虑如何通过透视对应组成射影对应，这里实际上也是考虑用怎样的 几何手段来体现射影对应定理3.1对于两个不共底且不成透视对应的射影对应点列，用两回透视对应就 可以使第一点列转换为第二点列。

换言之，这时的射影对应是由两回透视对应组 成的证明：设A,B,C,是以l为底的点列（图6）， C：是以厂为底的点列，・・・ ・・・两者成射影对应：（A, B, C, B J C ；）联结A与第一点列上诸点，得一与之成射影对应的线束记作A，（A,B,C,）同 样联结A与第二点列上诸点，得一与之成射影对应的线束A （A, B； C ；）根据射 影对应的可传性，从 …A A（A, B, C,以（A, B, C,以（A a, B b, C c, ）Xa （a a, B b, C c,）得出 A （A, B, C, ）；A （A A, B B, C\ ） … … …但由于这•两线束的公共线AAA三AA是自对应的，由定理2.2得A A （A, B, C, ）aA （A A, B A, C A,）由两个线束成透视的定义，则对应线的交点B二ABx AB:C二ACx AC；应在同一直线l上以A表直线AA与l的交点，便有11 1 1 1. ・・ (A, B, C, )X(A , B , C , )：(A； B； C)1 1 1以A和A作透视心，经过两回透视将第一点列转换成第二点列由一维射影几何基本定理可知在/上给定三点A,B,C，在厂上给定三个对应点A,B；C，两个点列的射影对应便完全决定了。

所以，定理3・1同时也告诉了我 们如何作出一个点的射影对应点那么具体如何作出l上任一点M的对应点呢？ 过程如下：首先作交点B二A rB x AB: C二A fC x AC ；其次联BC得直线l ；联AM与l相交于1 1 1 1 1 1M ； 最后AM与厂交于所求点Mf1 1那么，一个点列与一个线束成射影对应而不成透视对应，如何通过透视对应 转换呢？定理3.2设一个点列与一个线束成射影对应而不成透视对应，那么用三回透视 就可以彼此转换换言之，这时的射影对应是由三回透视组成证明：设以L为中心的线束a,b,c,与直线厂上的一个点列A；B；C,成射影对 应(图7)，以任一不通过L的直线7截已知线束，得出一个和它成透视的点列 A,B,C,，这是一回透视按定理3・1，再用两回透视就完成了证明：(a, b, c, )a(A, B, C, )a(A , B , C ,1 1 1证毕4. 应用举例已知一直线上三点A,B,C，求作第四点D使交比(AB,CD)等于定数九解：过C点任作一直线，在其上任取一点A，并在其上作出一点B，使有向线 段之比CA : CB，=九:1 (若九〉0，则A与B在C的同侧，若九＜ 0则在异侧)。

以S表 示AA与BBf的交点，过S作AE的平行线交AB于所求点D要证明作图的正确 性，可设直线A®上的无穷远点为D'于是(A,B,C,D)A(A；B；CQ )从而(AB, CD)=(A 'B； CD )二(A'B c )(A 矽D')=(A 'B 'C ')=A' C : B'C 二九。