点线面的垂直关系.docx

空间中的垂直关系一•要点精讲1. 线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直 于另一条三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直PO 丄a,0 wa、推理示范： pg a =A } n a 丄 AOa u a, a 丄 AP注意：⑴三垂线指PA, PO, AO都垂直a内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线 垂直的判定和性质定理.⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用2. 线面垂直定义：如果一条直线l和一个平面a相交，并且和平面a内的任意一 条直线都垂直，我们就说直线l和平面a互相垂直*其中直线l叫做平面的 垂线，平面a叫做直线l的垂面，直线与平面的交点叫做垂足直线l与平 面a垂直记作：l丄a直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行3. 面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直 n 面面垂直） 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两平面垂直的性质定理：（面面垂直n线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平 面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面典型问题解题思路总结1.通过典型问题掌握基本解题方法，高考中立体几何解答题基本题型是：（I）证明空间线面平行或垂直；（II）求空间中线面的夹角或距离； （III）求几何体的侧面积及体积证明空间线面平行或垂直需注意以下几点：① 由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路② 立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常 用方法之一③ 明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系:1平行转化：线线平行O线面平行O面面平行；2 垂直转化：线线垂直 O 线面垂直 O 面面垂直；每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线 面垂直，然后进一步转化为线线垂直。

二•典例解析题型1线线垂直问题例1.如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为Ap, A", BC，CD, DA, DE，CL 的中点，求证：EF丄GFP £i题型2：线面垂直问题例2、如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱, 求证：BD丄平面ACC]A]例 3.如图，直三棱柱 ABC—AlBlCl 中，AC =BC =1，ZACB =90°，AA1 = v'2，D是A1B1中点.(1)求证C1D丄平面A{B ； (2)当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1丄平面CDF ?并证明你的结论题型3:面面垂直问题例4.如图，△ABC为正三角形，EC丄平面ABC , BD 〃CE , CE =CA =2BD ,M 是EA 的中点，求证：(1) DE =DA ； (2)平面BDM 丄平面ECA ； (3)平面DEA 丄平面ECA例5.如图所示，正四棱柱ABCD—A1BlC1D1中，底面边长为2 I2，侧棱长为4.E, F分别 为棱AB，BC的中点，EFCBD=GI) 求证：平面B1EF丄平面BDD1B1； …(II) 求点D1到平面B1EF的距离d； 点/I(III) 求三棱锥B—EFD］的体积V。

题型4：射影问题例6.如图，SA 正方形ABCD所在平面，过A作与SC垂直的平面分别交SB、SC、 SD于E、k、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影.题型5：垂直的应用例7.如图，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC = BD = a且它们所成的角为30° ⑴求证：EG丄HF，⑵求四边形EFGH的面积题型6：课标创新题例8.如图（1）所示，E、F分别为正方体的面ADD”]、面BCC&的中心，则四边形BFD]E在该正方体的面上的射影可能是图（2）的 （要求：把可能的图的序号都填上）例9、a、0是两个不同的平面，m、n是平面a及0之外的两条不同直线.给出四个论断: ①m丄n②a丄0 ③n丄0 ④m丄a以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命 题： 。